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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

so daß $e_{1}$, …, $e_{z}$ gewisse ganze rationale Exponenten und ${\mathfrak {n}}$ ein zu $2$ primes Ideal bedeutet. Nach Satz 8 sind die Ideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ sämtlich im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ weiter zerlegbar; es seien ${\mathfrak {L}}_{1}$, …, ${\mathfrak {L}}_{z}$ bez. je ein Primfaktor von ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$; endlich sei ${\mathsf {A}}$ eine durch das Ideal ${\mathfrak {L}}_{1}^{e_{1}}\ldots {\mathfrak {L}}_{z}^{e_{z}}$ teilbare ganze Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ von der Art, daß der Quotient $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{{\mathfrak {L}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{z}^{e_{z}}}}$ zu $2$ prim ausfällt. Die Relativnorm $\alpha$ der Zahl ${\mathsf {A}}$ erhält dann die Gestalt

$\alpha =N({\mathsf {A}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {l}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{e_{z}}$,

wo ${\mathfrak {a}}$ ein zu $2$ primes Ideal des Körpers $k$ bedeutet, und es läßt sich infolgedessen der Quotient $\textstyle {\frac {\nu }{\alpha }}$ als ein Bruch $\textstyle {\frac {\varrho }{\sigma }}$ darstellen, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ ganze zu $2$ prime Zahlen sind. Wegen der Definition 6 ist für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$

$\left({\frac {N({\mathsf {A}}),\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

und mithin auch

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\alpha ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll. Berücksichtigen wir ferner, daß nach Satz 36 die Gleichungen

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\sigma ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\qquad \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

gelten, so erhalten wir mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu \sigma ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\alpha \varrho ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\alpha ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wie der zu beweisende Satz 40 behauptet.

§ 29. Der Fundamentalsatz über die Anzahl der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper.

In § 19 haben wir für den Fall, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ zu $2$ prim ist, den Satz 26 bewiesen und dadurch eine obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ aufgestellt. Wir sind nunmehr imstande, unter der nämlichen Einschränkung das folgende wichtige Theorem zu beweisen:

Satz 41. Es sei $r$ die Anzahl der Charaktere, welche ein Geschlecht des relativquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ bestimmen; ist dann ein System von $r$ beliebigen Einheiten $\pm 1$ vorgelegt, so wird dieses System dann und nur dann das Charakterensystem eines Geschlechtes in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, wenn das Produkt der sämtlichen $r$ Einheiten gleich $+1$ ist. Die Anzahl $g$ der in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vorhandenen Geschlechter ist daher gleich $2^{r-1}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 446. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/463&oldid=- (Version vom 9.9.2019)