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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Nun gibt es für den Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ genau

$n({\mathfrak {l}}_{1})^{2l_{1}}\cdots n({\mathfrak {l}}_{z})^{2l_{z}}(n({\mathfrak {l}}_{1})-1)\cdots (n({\mathfrak {l}}_{z})-1)=2^{m}L_{1}\cdots L_{z}$

zu $2$ prime und untereinander inkongruente Zahlen und mithin bilden die ganzen Zahlen in (2) ein volles Restsystem der genannten Art nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$; dies ist die Aussage des Satzes 42.

§ 31. Eine Eigenschaft gewisser besonderer Ideale des Körpers $\mathbf {k}$.

Wir setzen nunmehr die in § 23 und in § 26 angestellten Untersuchungen über primäre Ideale des Körpers $k$ fort und gelangen zu folgenden Sätzen:

Satz 43. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges zu $2$ primes Ideal in $k$ von solcher Beschaffenheit, daß die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {a}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {a}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1\end{aligned}}$

gelten: dann ist es stets möglich, in $k$ eine ganze Zahl $\alpha$ zu finden, so daß das Ideal $(\alpha )$ gleich ${\mathfrak {a}}^{h}$ wird, und überdies die Zahl $\alpha$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k$ kongruent wird; hierbei haben $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$, $l_{1}$, …, $l_{z}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42.

Beweis. Es sei $\alpha ^{*}$ irgendeine ganze Zahl in $k$, so daß $(\alpha ^{*})={\mathfrak {a}}^{h}$ wird. Bezeichnen ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$, $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$, $\pi _{1}$, …, $\pi _{z}$ dieselben Ideale bez. ganzen Zahlen des Körpers $k$ wie in Satz 42, so ist nach dem dort Bewiesenen jede ganze zu $2$ prime Zahl nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ in der Gestalt darstellbar, wie im Satze 42 angegeben worden ist; wir dürfen also insbesondere

$\alpha ^{*}\equiv \varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\beta ^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})$

(1)

setzen, wo $\varepsilon ^{*}$ eine geeignete Einheit in $k$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\beta$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Da hiernach die Zahl

$\mu =\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}$

dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\dotsc {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt, so erhalten wir nach Satz 40 die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varepsilon _{1},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\\\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{1},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{z},\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\end{aligned}}\right\}$

(2)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 451. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/468&oldid=- (Version vom 9.9.2019)