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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

wo das Produkt $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ stets über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll. Aus den Gleichungen (2) folgt leicht

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{\alpha ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{i}}{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{v_{1}}\cdots \left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{v_{\frac {m}{2}}}\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)^{w_{1}}\cdots \left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {p}}_{z}}}\right)^{w_{z}}=+1$,

(3)

$\left(i=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {m}{2}}\right)$,

$\left({\frac {\lambda _{k}}{\alpha ^{*}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{k}}{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{v_{1}}\cdots \left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{v_{\frac {m}{2}}}\left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)^{w_{1}}\cdots \left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {p}}_{z}}}\right)^{w_{z}}=+1$,

(4)

$(k=1,\,2,\,\ldots ,\,z)$.

Indem wir die Voraussetzungen des Satzes 43 benutzen, schließen wir aus (3), (4) der Reihe nach, daß die Exponenten $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ sämtlich gleich $0$ sind; folglich ist wegen (1) die Zahl $\alpha =\varepsilon ^{*}\alpha ^{*}$ von der im Satze 43 verlangten Art.

Die Umkehrung des Satzes 43 lautet wie folgt:

Satz 44. Wenn $\alpha$ eine zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ ist, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt, so gelten die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\alpha }}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\alpha }}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\alpha }}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\alpha }}\right)=+1;\end{aligned}}$

dabei haben $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$, $l_{1}$, …, $l_{z}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42.

Den Beweis dieses Satzes gewinnen wir unmittelbar aus Satz 40, indem wir in der Gleichung dieses Satzes 40 für $\nu$ der Reihe nach die Zahlen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ und für $\mu$ jedesmal die Zahl $\alpha$ nehmen.

Die Sätze 43 und 44 bilden einen wesentlichen Bestandteil des zweiten Ergänzungssatzes zu dem später aufzustellenden allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste. Es ist eine lohnende Aufgabe, für die Sätze 43 und 44 numerische Beispiele in ähnlicher Weise zu berechnen wie dies in § 27 für die entsprechenden Aussagen des ersten Ergänzungssatzes geschah. Wegen der vielen möglichen Arten der Zerlegung der Zahl $2$ in verschiedenen Körpern $k$ weisen die Aussagen des zweiten Ergänzungssatzes sogar eine noch größere Mannigfaltigkeit an einzelnen arithmetischen Wahrheiten auf als bei Erörterung des ersten Ergänzungssatzes zutage traten.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 452. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/469&oldid=- (Version vom 9.9.2019)