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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und bestimmen wir sodann $\xi$ aus der Kongruenz

$\xi \equiv {\frac {\varrho -\alpha _{2l+a}^{2}}{4\alpha _{2l+a}\lambda ^{a}}},\quad ({\mathfrak {l}})$,

so ist $\alpha _{2l+a+1}$ eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit; damit haben wir den Beweis für den Satz 46 erbracht.

Satz 47. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein Primfaktor von $2$ in $k$ und es gehe ${\mathfrak {l}}$ in $2$ genau zur $l$-ten Potenz auf: wenn dann $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, derart, daß die Brüche $\textstyle {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}$ und $\textstyle {\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}$ den Quadraten gewisser ganzen Zahlen in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfallen, so ist stets

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Beweis. Wir nehmen an, es sei $\mu _{1}$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ und $\nu _{1}$ im Körper $K({\sqrt {\mu _{1}}})$ Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$; wir verstehen dann unter $L$ irgendeinen Exponenten und unter ${\mathsf {A}}$ eine solche ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu _{1}}})$ , daß $\nu _{1}\equiv N({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ wird. Da $\textstyle {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}$ und mithin auch $\textstyle {\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ist, so muß nach Satz 46 auch für jeden beliebigen Exponenten $L$ eine ganze Zahl $\alpha _{L}$ in $k$ existieren, deren Quadrat dem Bruche $\textstyle {\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}$ kongruent nach ${\mathfrak {l}}^{L}$ ausfällt; wir haben somit

$\nu _{2}\equiv \alpha _{L}^{2}\nu _{1}\equiv N(\alpha _{L}{\mathsf {A}}),\quad ({\mathfrak {l}}^{L}),$

(1)

d. h. $\nu _{2}$ ist im Körper $K({\sqrt {\mu _{1}}})$ Normenrest nach ${\mathfrak {l}}$.

Wir setzen nun

$\alpha _{L}{\mathsf {A}}={\frac {\alpha +\beta {\sqrt {\mu _{1}}}}{\gamma }}$;

(2)

hierin seien $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ gewisse ganze Zahlen in $k$ und es gehe ${\mathfrak {l}}$ in $\gamma$ genau zur $c$-ten Potenz auf. Wegen der über ${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}$ gemachten Voraussetzung können wir nach Satz 46 eine Zahl $\beta _{L}$ finden, so daß

${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\equiv \beta _{L}^{2}$,   d.h.   $\mu _{1}\equiv \mu _{2}\beta _{L}^{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{L+2c})$

(3)

ausfällt. Aus (1), (2), (3) erhalten wir dann

$\nu _{2}\gamma ^{2}\equiv \alpha ^{2}-\beta ^{2}\mu _{1}\equiv \alpha ^{2}-\beta ^{2}\beta _{L}^{2}\mu _{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{L+2c})$.

(4)

Stellt nun $\delta$ irgendeine zu ${\mathfrak {l}}$ prime und durch $\textstyle {\frac {\gamma }{{\mathfrak {l}}^{e}}}$ teilbare Zahl in $k$ dar, so ist

${\mathsf {A}}^{*}={\frac {\delta \left(\alpha +\beta \beta _{L}{\sqrt {\mu _{2}}}\right)}{\gamma }}$

gewiß eine ganze Zahl in $K({\sqrt {\mu _{2}}})$, da offenbar Summe und Produkt dieser Zahl ${\mathsf {A}}^{*}$ und ihrer relativkonjugierten Zahl $S{\mathsf {A}}^{*}$ ganze Zahlen in $k$ sind. Bei Benutzung von (4) folgt

$N({\mathsf {A}}^{*})\equiv \delta ^{2}\nu _{2},\quad ({\mathfrak {l}}^{L}),$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 455. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/472&oldid=- (Version vom 9.9.2019)