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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und folglich bei Benutzung der Formeln des Satzes 45

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu ^{*}}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu ^{*h}}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)$

und

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ^{h},\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Somit erhalten wir schließlich

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)$

und infolge der Voraussetzung des Satzes 48 ist daher

$\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

(2)

Da $\mu ^{*}$ und folglich auch die Zahl $\pi$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {L}}^{2}$ kongruent ist, so nimmt mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gleichung (2) die Gestalt

$\left({\frac {\underline {\varkappa ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

an, und hieraus schließen wir wegen (1), daß notwendig

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$

(3)

ausfallen muß.

Wir betrachten jetzt den Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und werden beweisen, daß $\varkappa$ stets gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, deren Nenner prim zu $2$ ausfällt. Zu dem Zwecke unterscheiden wir folgende drei Fälle:

Erstens nehmen wir an, es sei das Primideal ${\mathfrak {p}}$ primär und $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ enthält dann nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$, und wir können in diesem Falle genau wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 47 zeigen, daß $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, deren Nenner zu $2$ prim ausfällt.

Nehmen wir zweitens an, es sei ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; dagegen sei $\pi$ nicht eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, sondern es sei vielmehr $\pi =\varepsilon \pi ^{*}$, wobei $\pi ^{*}$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ und $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ bedeutet, welche nicht gleich dem Quadrat einer Einheit in $k$ ausfällt. Die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ enthält, da $\pi$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {L}}^{2}$ kongruent ist, wegen Satz 4 lediglich die beiden Primideale ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {p}}$. Setzen wir in Satz 23 $t=2$ ein, so folgt aus demselben wegen $v\leqq {\frac {m}{2}}$ die Ungleichung $a\leqq 1$, d. h. die Anzahl $A=2^{a}$ aller ambigen Komplexe des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist höchstens gleich $2$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 460. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/477&oldid=- (Version vom 9.9.2019)