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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Es sei nun $\mu ^{*}$ eine ganze den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,\quad ({\mathfrak {l}}^{2l+1}),\\\mu ^{*}&\equiv 1,\quad ({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügende Zahl des Körpers $k$; wir bestimmen dann zunächst ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$ derart, daß die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{*}}}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu ^{*}}}\right)\end{aligned}}$

gelten; hierbei sollen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da folglich

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{{\mathfrak {p}}\mu ^{*}}}\right)=+1\end{aligned}}$

wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\alpha$ derart bestimmen, daß das Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {p}}^{h}\mu ^{*h}$ wird und überdies die Zahl $\alpha$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt; wir setzen $\pi ={\frac {\alpha }{\mu ^{*h}}}$ und haben dann $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$.

Andererseits bestimmen wir ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ derart, daß die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)&=+1\end{aligned}}$

(1)

gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\beta$ derart bestimmen, daß das Ideal ($\beta$) gleich ${\mathfrak {q}}^{h}\nu ^{h}$ wird und überdies die Zahl $\beta$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt; wir setzen $\varkappa ={\frac {\beta }{\nu ^{h}}}$ und haben dann $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$.

Zufolge Satz 40 haben wir

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\alpha }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\,\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\beta ,\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\beta }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,$

wo die Produkte $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über sämtliche zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden sollen; mit Rücksicht auf die Definition 17 ergibt sich hieraus

$\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\alpha }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1,\quad \textstyle \left({\frac {\underline {\beta ,\,\pi }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1,$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 459. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/476&oldid=- (Version vom 9.9.2019)