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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

wäre. Dieses Ideal ${\mathfrak {J}}$ könnte nun nicht dem Hauptkomplex angehören; denn wäre ${\mathfrak {J}}$ einem Ideale ${\mathfrak {j}}$ in $k$ äquivalent, so müßte

${\mathfrak {J}}^{h}\sim {\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$

sein und aus dieser Äquivalenz würde, da $h$ eine ungerade Zakl ist, sofort ${\mathfrak {J}}\sim 1$ folgen, was nicht der Fall sein sollte. Andererseits ist, wenn $N({\mathfrak {J}})={\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}={\mathfrak {n}}$ gesetzt wird, ${\mathfrak {n}}\cdot {\mathfrak {J}}\sim S{\mathfrak {J}}$ und mithin würde das Ideal ${\mathfrak {J}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ einen ambigen Komplex bestimmen, welcher von dem Hauptkomplexe verschieden wäre; dies widerspräche der vorhin bewiesenen Tatsache.

Wegen der Gleichung (7) zerfällt das Ideal ${\mathfrak {q}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$; es sei ${\mathfrak {Q}}$ einer der beiden Primfaktoren von ${\mathfrak {q}}$. Setzen wir ${\mathfrak {Q}}^{hH}=({\mathsf {A}})$, so daß ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ bezeichnet, so folgt, daß das Hauptideal ${\mathfrak {q}}^{hH}$ gleich der Relativnorm des Hauptideals (${\mathsf {A}}$) wird, und mithin ist

$\varepsilon \varkappa ^{H}=N({\mathsf {A}}),$

wenn $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$ bezeichnet. Da aber nach dem vorhin Bewiesenen eine jede Einheit in $k$ die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, so ist auch $\varkappa ^{H}$ die Relativnorm einer ganzen Zahl ${\mathsf {A}}^{*}$ in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$; folglich ist $\varkappa$ die Relativnorm der Zahl $\textstyle {\frac {{\mathsf {A}}^{*}}{\varkappa ^{\frac {H-1}{2}}}}$, und der Nenner dieses Bruches fällt prim zu $2$ aus. Hieraus folgt leicht nach Definition 6 $\textstyle \left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ und mithin wegen (8) auch $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$; hiermit ist der Beweis für den Satz 47 im gegenwärtigen Falle erbracht.

Nehmen wir endlich an, es sei jede der beiden Zahlen $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$, so ergibt sich nach der Definition 6 für die beiden Symbole $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)$, $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)$stets der Wert $+1$ und damit ist der Satz 47 vollständig bewiesen.

Satz 48. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner seien $\nu$, $\mu$ beliebige zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir bezeichnen wie in Satz 40 mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die $z$ voneinander verschiedenen in $2$ aufgehenden Primideale und es möge allgemein ${\mathfrak {l}}_{i}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{i}$-ten Potenz in $2$ aufgehen, so daß

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

wird. Nehmen wir sodann ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {l}}_{1}$ und setzen $l=l_{1}$, ${\mathfrak {L}}={\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$, so haben wir

$2={\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}}$,

wo ${\mathfrak {L}}$ ein durch ${\mathfrak {l}}$ nicht teilbares Ideal bedeutet.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 458. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/475&oldid=- (Version vom 9.9.2019)