Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/479

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

wobei $\gamma$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ ist und aus dieser Gleichung entnehmen wir die Gleichung

$\xi \varkappa =N(\gamma {\mathsf {A}}),$

wo $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Da nach dem vorhin Bewiesenen jede Einheit in $k$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, so zeigt die letzte Gleichung, daß auch $\varkappa$ die Relativnorm einer gewissen Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein muß. Durch eine einfache Betrachtung erkennen wir sodann, daß $\varkappa$ sich jedenfalls auch als Relativnorm einer solchen Zahl muß darstellen lassen, deren Nenner zu $2$ prim ist.

Wir nehmen drittens an, es wäre ${\mathfrak {p}}$ ein nichtprimäres Primideal in $k$ und $\zeta$ eine Einheit, für welche $\textstyle \left({\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ wird. In diesem Falle kann $\zeta$ sicher nicht die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein; es ist mithin die in Satz 23 mit $v$ bezeichnete Anzahl hier $\textstyle \leqq {\frac {m}{2}}-1$. Da $\pi$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {L}}^{2}$ kongruent wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ nach Satz 4 prim zu ${\mathfrak {L}}$ und enthält daher wiederum nur die beiden Primfaktoren ${\mathfrak {p}}$ und ${\mathfrak {l}}$. Setzen wir in Satz 23 $t=2$ ein, so folgt aus demselben wegen $\textstyle v\leqq {\frac {m}{2}}-1$ die Ungleichung $a\leqq 0$, d. h. es ist $a=0$ und $v=\textstyle {\frac {m}{2}}-1$. Es machen nun die Gesamtheit aller Einheiten $\xi$, für welche $\textstyle \left({\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ ausfällt, offenbar genau $2^{{\frac {m}{2}}-1}$ Einheitenverbände des Körpers $k$ aus und da diejenigen $2^{{\frac {m}{2}}-1}$ Verbände von Einheiten $\eta$, für welche $\textstyle \left({\frac {\eta }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ ausfällt, gewiß nicht Einheiten enthalten dürfen, die Relativnormen von Zahlen sind, so folgt, daß alle Einheiten $\xi$ mit der Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {\xi }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ notwendig Relativnormen von Zahlen des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sind.

Aus der Gleichung $a=0$ folgt ferner, daß im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ der einzige ambige Komplex der Hauptkomplex ist und hieraus schließen wir, wie im zweiten Teil des Beweises zu Satz 47, daß die Klassenanzahl $H$ des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ notwendig ungerade sein muß. Auch erkennen wir, wie dort, daß, wenn $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$ bezeichnet, die Zahl $\varepsilon \varkappa ^{H}$ gleich der Relativnorm einer gewissen ganzen Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein muß. Infolgedessen besteht die Gleichung

$\left({\frac {\varepsilon \varkappa ^{H}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1;$

wegen (3) muß hiernach auch $\textstyle \left({\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ sein, und nach dem Vorigen ist mithin $\varepsilon$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ Hieraus schließen wir, daß auch $\varkappa ^{H}$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ sein muß und folglich ist $\varkappa$ die Relativnorm einer Zahl in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und insbesondere auch einer solchen Zahl, deren Nenner zu $2$ prim ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 462. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/479&oldid=- (Version vom 9.9.2019)