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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

In allen drei soeben behandelten Fällen ist mithin nach Definition 6 gewiß

$\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Wir hatten nun zu Beginn des Beweises $\alpha =\pi \mu ^{*h}$ und sodann $\beta =\varkappa \nu ^{h}$ als ganze Zahlen in $k$ derart bestimmt, daß sie Quadraten ganzer Zahlen in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfielen. Da ferner $\mu ^{*}\equiv \mu$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ ist, so folgt nach Satz 47

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$;

damit ist der Satz 48 vollständig bewiesen.

Satz 49. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner seien $\nu$, $\mu$ beliebige zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir wenden die am Anfang des Beweises zu Satz 48 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen eine ganze Zahl $\mu ^{*}$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,\quad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\right),\\\mu ^{*}&\equiv 1,\quad \left({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{2l_{3}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right)\end{aligned}}$

genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ ist; dann haben wir wegen Satz 47

${\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,1}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,z);\end{aligned}}$

infolgedessen gibt es gewisse ganze Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{z}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ derart, daß

${\begin{aligned}\nu \equiv &N({\mathsf {A}}_{1}),\quad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}\right),\\&\vdots \\\nu \equiv &N({\mathsf {A}}_{z}),\quad \left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)\end{aligned}}$

ausfällt. Wenn wir daher eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ bestimmen, die zugleich den $z$ Kongruenzen

${\begin{aligned}{\mathsf {A}}\equiv &{\mathsf {A}}_{1},\quad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}\right),\\&\vdots \\{\mathsf {A}}\equiv &{\mathsf {A}}_{z},\quad \left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)\end{aligned}}$

genügt, so wird auch

$\nu \equiv N({\mathsf {A}}),\qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)$

und vermöge des Satzes 36 schließen wir hieraus leicht

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {N({\mathsf {A}}),\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 463. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/480&oldid=- (Version vom 9.9.2019)