Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/481

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

wo die Produkte $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ zu erstrecken sind; nach der Definition 17 ist das Produkt linker Hand gleich $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$. Da nun nach Definition 6 sämtliche Faktoren des Produktes rechter Hand den Wert $+1$ haben, so folgt $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$, womit der Satz 49 vollständig bewiesen ist. Die beiden Sätze 48 und 49 zusammengenommen ergeben das folgende Resultat:

Satz 50. (Hilfssatz.) Wenn ${\mathfrak {l}}$ irgendein in $2$ aufgehendes Primideal und ferner $\nu$, $\mu$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ bedeuten, dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$.

§ 34. Die Eigenschaften des Symbols für $\mathbf {\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)}$ für irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Mit Hilfe des Satzes 50 können wir die wichtige Tatsache beweisen, daß die in Satz 14 aufgestellten Formeln auch für jedes in $2$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {l}}$ gültig sind. Wir sprechen den Satz aus:

Satz 51. Wenn $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, so gelten in bezug auf jedes in $2$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ die Formeln

${\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\mu ,\,\nu }{\mathfrak {l}}}\right),\\\left({\frac {\nu _{1}\nu _{2},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\nu _{1},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\nu _{2},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right),\\\left({\frac {\nu ,\,\mu _{1}\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)\left({\frac {\nu ,\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right).\end{aligned}}$

Beweis. Es mögen ${\mathfrak {l}}$ und ${\mathfrak {L}}$ die Bedeutung wie in Definition 17 haben. Um die erste Formel des Satzes 51 zu beweisen, bestimmen wir zwei ganze Zahlen $\nu ^{*}$, $\mu ^{*}$ in $k$ von der Art, daß

${\begin{aligned}\left.{\begin{aligned}\nu ^{*}\equiv \nu \\\mu ^{*}\equiv \mu \\\end{aligned}}\right\}&,\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2l+1}\right)\\\left.{\begin{aligned}\nu ^{*}\equiv 1\\\mu ^{*}\equiv 1\\\end{aligned}}\right\}&,\qquad \left({\mathfrak {L}}^{2}\right)\end{aligned}}$

wird. Nach Satz 47 ist dann

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right),\quad \left({\frac {\mu ,\,\nu }{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\mu ^{*},\,\nu }{\mathfrak {l}}}\right)$

und folglich wegen Satz 50 auch

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\nu ^{*},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right),\quad \left({\frac {\underline {\mu ,\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\mu ^{*},\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)$

(1)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 464. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/481&oldid=- (Version vom 9.9.2019)