Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/481

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wo die Produkte über alle zu primen Primideale in zu erstrecken sind; nach der Definition 17 ist das Produkt linker Hand gleich . Da nun nach Definition 6 sämtliche Faktoren des Produktes rechter Hand den Wert haben, so folgt , womit der Satz 49 vollständig bewiesen ist. Die beiden Sätze 48 und 49 zusammengenommen ergeben das folgende Resultat:

Satz 50. (Hilfssatz.) Wenn irgendein in aufgehendes Primideal und ferner , irgendwelche zu prime ganze Zahlen in bedeuten, dann gilt stets die Gleichung

.

§ 34. Die Eigenschaften des Symbols für für irgendwelche zu prime ganze Zahlen , .

Mit Hilfe des Satzes 50 können wir die wichtige Tatsache beweisen, daß die in Satz 14 aufgestellten Formeln auch für jedes in aufgehende Primideal gültig sind. Wir sprechen den Satz aus:

Satz 51. Wenn , , , , , beliebige zu prime ganze Zahlen in sind, so gelten in bezug auf jedes in aufgehende Primideal des Körpers die Formeln

Beweis. Es mögen und die Bedeutung wie in Definition 17 haben. Um die erste Formel des Satzes 51 zu beweisen, bestimmen wir zwei ganze Zahlen , in von der Art, daß

wird. Nach Satz 47 ist dann

und folglich wegen Satz 50 auch

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