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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

wird. Bestimmen wir nun eine ganze Zahl $\nu$ derart, daß

${\begin{aligned}\nu &\equiv \nu _{1},\quad &&({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}),\\&\,\vdots &&\\\nu &\equiv \nu _{z^{*}},\quad &&({\mathfrak {l}}_{z^{*}}^{2l_{z^{*}}+1}),\\\nu &\equiv 1,\quad &&({\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}^{2l_{z^{*}+1}+1}),\\&\,\vdots &&\\\nu &\equiv 1,\quad &&({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

ausfällt, so genügt $\nu$ nach Satz 56 den Bedingungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)&=c_{r-z^{*}+1},&&\ldots ,\,\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=c_{r},\\\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}}}\right)&=+1,&&\ldots ,\,\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(1)

Nunmehr bezeichnen wir mit ${\mathfrak {d}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t^{*}}$ diejenigen unter den $t-r$ Primidealen ${\mathfrak {d}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$, die zu $2$ prim sind und bestimmen dann ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches bei Benutzung der Bezeichnungen von § 31 die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\nu }}\right),\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\nu }}\right),\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\nu }}\right),\\\end{aligned}}\right\}$

(2)

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=c_{1}\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)\left({\frac {\delta _{1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\delta _{r-z^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{r-z^{*}}\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}}}\right)\left({\frac {\delta _{r-z^{*}}}{\nu }}\right),\\\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)\left({\frac {\delta _{r+1}}{\nu }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\delta _{t^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{t^{*}}}}\right)\left({\frac {\delta _{t^{*}}}{\nu }}\right)\end{aligned}}\right\}$

(3)

gelten. Wegen (2) läßt sich nach Satz 43 eine ganze Zahl $\pi$ bestimmen, so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$ und überdies die Zahl $\pi \nu$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ wird. Infolgedessen schließen wir aus Satz 56 mit Rücksicht auf (1)

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)=c_{r-z^{*}+1},\,\ldots ,\,\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}}}}\right)=c_{r},\\\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}}}\right)&=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z^{*}+1}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=+1.\\\end{aligned}}\right\}$

(4)

Andererseits folgt aus Satz 40, wenn wir die erste Formel des Satzes 14 berücksichtigen,

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\pi \nu ,\,\delta _{i}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1,\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,r-z^{*},\,r+1,\,\ldots ,\,t^{*})$

und wegen (3) haben wir daher

${\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\nu }}\right)&=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)c_{i}=+1,\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,r-z^{*}),\\\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\nu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\delta _{i}}{\nu }}\right)&=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\color {white}c_{i}\color {black}=+1,\quad (i=r+1,\,\ldots ,\,t^{*}),\\\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 477. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/494&oldid=- (Version vom 9.9.2019)