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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Ferner ergibt sich aus dem Existenzsatz die wichtige Aussage:

Allgemeiner Satz von der arithmetischen Progression. In jeder Idealklasse nach jeder Idealgruppe $H$ in $k$ existieren unendlich viele Primideale.

2. Sowohl Furtwängler, von der Theorie der unverzweigten relativ-Abelschen Zahlkörper ausgehend, als auch Takagi, von der Theorie der allgemeinen relativ-Abelschen Zahlkörper ausgehend, haben dann ferner das Reziprozitätsgesetz in einem allgemeinen (die erforderlichen Einheitswurzeln enthaltenden) algebraischen Zahlkörper $k$ behandelt, und zwar beide im wesentlichen nur für Primzahlexponenten $l$. Gerade hatte Furtwängler begonnen, in gleicher Weise auch den Fall höherer Exponenten mit Erfolg zu behandeln, als Artin mit einem neuen, grundlegenden Satz hervortrat, der sich zunächst in Form einer Ergänzung zu den obigen Hauptsätzen der Klassenkörpertheorie darbietet, der aber andrerseits gerade den Mechanismus darstellt, durch den das Reziprozitätsgesetz mit diesen Sätzen verkettet ist, und den Artin daher schlechthin das allgemeine Reziprozitätsgesetz genannt hat. Dieses Artinsche Reziprozitätsgesetz ist eine Ergänzung zu dem Isomorphiesatz der Klassenkörpertheorie. Es lautet:

Artinsches Reziprozitätsgesetz. Der Isomorphismus zwischen der Idealklassengruppe nach $H$ und der Galoisschen Relativgruppe von $K$ wird dargestellt, wenn man jedem zum Führer von $H$ primen Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $k$ diejenige Substitution $\sigma$ der Galoisschen Relativgruppe von $K$ zuordnet, für die gilt:

$\sigma {\mathsf {A}}\equiv {\mathsf {A}}^{N({\mathfrak {p}})}$ mod. ${\mathfrak {p}}$ für jedes ganze ${\mathsf {A}}$ aus $K$.

Es gilt also:

Die Substitution $\sigma$ hängt nur von der Klasse nach $H$ ab, der ${\mathfrak {p}}$ angehört, und der Multiplikation der Klassen entspricht dabei die Multiplikation der Substitutionen.

Die Existenz und eindeutige Bestimmtheit einer solchen Substitution $\sigma$ ist in der von Hilbert in 4, unabhängig von Dedekind und Frobenius, entwickelten Theorie der Galoisschen Körper enthalten; $\sigma$ ist eine gewisse Erzeugende der zu ${\mathfrak {p}}$ für $K$ gehörigen Zerlegungsgruppe. Nach Frobenius, der die Zuordnung dieser Substitution $\sigma$ zu ${\mathfrak {p}}$ zuerst (auf die Verteilung der ${\mathfrak {p}}$ bei gegebenem $\sigma$ hin) untersucht hat, nennt man $\sigma$ die zu ${\mathfrak {p}}$ für $K$ gehörige „Frobenius-Substitution“. Das Artinsche Reziprozitätsgesetz hat dann insbesondere zur Aufstellung des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes der Potenzreste für beliebige Exponenten $m$ in der klassischen Form geführt:

Definition des $m$-ten Potenzrestsymbols. Für ein zum Führer von $k\left({\sqrt[{m}]{\alpha }}\right)$ primes Primideal ${\mathfrak {p}}$ ist $\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)$ derjenige Einheitswurzelfaktor, den die Zahl ${\sqrt[{m}]{\alpha }}$ bei Anwendung der zu ${\mathfrak {p}}$ für $k\left({\sqrt[{m}]{\alpha }}\right)$ gehörigen Frobenius-Substitution $\sigma$ bekommt.

Für ein zum Führer von $k\left({\sqrt[{m}]{\alpha }}\right)$ (bis auf evtl. $m$-te Potenzen) primes zusammengesetztes

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 533. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/550&oldid=- (Version vom 19.1.2018)