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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Ideal $\textstyle {\mathfrak {b}}=\prod {\mathfrak {p}}^{\nu }$ ist

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)=\prod \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)^{\nu }$.

Diese Definition ist sachlich etwas allgemeiner als die in den Arbeiten von Hilbert, Furtwängler, Takagi und Artin benutzte, führt aber in den dortigen Spezialfällen (${\mathfrak {b}}$ prim zu $m$) ohne weiteres auf die dort zugrunde gelegte Definition mittels des verallgemeinerten Eulerschen Kriteriums zurück.

Aus seinem Reziprozitätsgesetz folgerte Artin durch Anwendung auf die speziellen relativ-Abelschen Körper $k\left({\sqrt[{m}]{\alpha }}\right)$ unmittelbar:

Das Reziprozitätsgesetz der Potenzreste (1. Form). Das $m$-te Potenzrestsymbol $\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)$ hängt nur von der Klasse ab, der das Ideal ${\mathfrak {b}}$ bei der zu $k\left({\sqrt[{m}]{\alpha }}\right)$ gehörigen Klasseneinteilung angehört.

Mittels eines Furtwänglerschen Schlußverfahrens leitete ferner Hasse die folgende Tatsache von der klassischen Gestalt des Reziprozitätsgesetzes her:

Das Reziprozitätsgesetz der Potenzreste (2. Form). Es ist

$\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)=\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)$,

wenn die Führer von $k\left({\sqrt[{m}]{\alpha }}\right)$ und $k\left({\sqrt[{m}]{\beta }}\right)$ zueinander prim sind.

3. Weiter konnte Hasse auch die elegante Hilbertsche Formulierung des Reziprozitätsgesetzes als Produkttheorem für das Normenrestsymbol in der jetzt erreichten Allgemeinheit geben:

Das Reziprozitätsgesetz als Produkttheorem für das Normenrestsymbol. Für beliebige $\beta \neq 0$ aus $k$ und beliebige relativ-Abelsche Körper $K$ über $k$ ist stets das über alle Primstellen ${\mathfrak {p}}$ von $K$ erstreckte Produkt

$\prod \limits _{\mathfrak {p}}\left({\frac {\beta ,\,K}{\mathfrak {p}}}\right)=1$.

Dabei ist das Symbol $\left({\frac {\beta ,\,K}{\mathfrak {p}}}\right)$ als Element der Galoisschen Relativgruppe von $K$ derart erklärt, daß insbesondere gilt:

$\textstyle \left({\frac {\beta ,\,K}{\mathfrak {p}}}\right)=1$ dann und nur dann, wenn $\beta$ für jede noch so hohe Potenz von ${\mathfrak {p}}$ der Norm einer Zahl aus $K$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent ist.

Die exakte Definition des Symbols wird, ähnlich wie für das Potenzrestsymbol, durch Zurückführung auf eine Frobenius-Substitution gegeben, welche hier allerdings etwas komplizierter ist:

$\textstyle \left({\frac {\beta ,\,K}{\mathfrak {p}}}\right)=1$ ist die Frobenius-Substitution zu ${\mathfrak {q}}$ für $K$, wenn ${\mathfrak {q}}$ aus $\beta$ durch den Mechanismus bestimmt wird:

$\beta _{0}\equiv \beta$ mod. ${\mathfrak {f_{p}}}$, $\beta _{0}\equiv 1$ mod. ${\frac {\mathfrak {f}}{\mathfrak {f_{p}}}}$(${\mathfrak {f}}$ der Führer von $K$, ${\mathfrak {f_{p}}}$ der ${\mathfrak {p}}$-Bestandteil von ${\mathfrak {f}}$)

und

$\beta _{0}={\mathfrak {p}}^{b}{\mathfrak {q}}$ mit einem Primideal ${\mathfrak {q\neq p}}$.

${\mathfrak {q}}$ existiert nach dem allgemeinen Satz von der arithmetischen Progression.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 534. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/551&oldid=- (Version vom 2.10.2016)