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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Für den Fall, daß $K$ zyklisch über $k$ ist, gilt auch für dieses allgemeine Normenrestsymbol die von Hilbert in seinen Spezialfällen festgestellte Tatsache:

Normensatz. Dann und nur dann ist $\beta$ Norm einer Zahl aus $K$ , wenn $\textstyle \left({\frac {\beta ,\,K}{\mathfrak {p}}}\right)=1$ für alle Primstellen ${\mathfrak {p}}$ von $K$ ist.

Dagegen verliert dieser Satz im allgemeinen seine Gültigkeit, wenn K nicht mehr zyklisch über k ist.

Auf Grund dieses Normensatzes konnte Hasse neuerdings grundlegende Anwendungen der Klassenkörpertheorie auf die Strukturtheorie der einfachen Systeme hyperkomplexer Zahlen über einem algebraischen Zahlkörper $k$ geben. Zufolge dieser Anwendungen und mittels der allgemeinen Begriffsbildungen von E. Noether scheint diese Theorie nunmehr rückwärts für die noch offenen großen Probleme in der Theorie der algebraischen Zahlkörper, nämlich die Verallgemeinerung der Klassenkörpertheorie auf allgemeine relativ-Galoissche Zahlkörper, den Zugang zu liefern. Doch ist diese Entwicklung noch zu jung, als daß hier schon darüber berichtet werden könnte.

4. Von den von Hilbert am Schluß von 10 skizzierten Klassenkörpergesetzlichkeiten hat ein Satz auch noch nach fertigem Vorliegen der Furtwängler-Takagischen Theorie und des Artinschen Reziprozitätsgesetzes eine Zeitlang hartnäckig allen Beweisversuchen getrotzt. Es war dies die folgende Tatsache:

Hauptidealsatz. Im absoluten (d.i. größten unverzweigten) Klassenkörper $K$ zu einem algebraischen Zahlkörper $k$ werden alle Ideale von $k$ zu Hauptidealen.

Auch diese Tatsache, die wegen ihrer bevorzugten Stellung in dem Hilbertschen Programm zu den am weitesten bekannten Eigenschaften des Klassenkörpers gehört, konnte aber schließlich bewiesen werden, und zwar durch Furtwängler, nachdem zuvor Artin mittels seines Reziprozitätsgesetzes eine Reduktion auf eine rein gruppentheoretische Frage gegeben hatte. Diese Artinsche Reduktion beruht auf dem Gedanken, die Idealklassen des Klassenkörpers $K$ , um deren Studium es sich handelt, durch das Artinsche Reziprozitätsgesetz auf die Substitutionen der Galoisschen Relativgruppe des absoluten Klassenkörpers $K'$ von $K$ , also des zweiten absoluten Klassenkörpers zu $k$ , abzubilden. Dieser Körper $K'$ ist über $k$ nicht mehr Abelsch, sondern nur noch metabelsch. Daher überschreitet der Hauptidealsatz die eigentliche Theorie der relativ-Abelschen Körper, reicht vielmehr in die Theorie der relativ-metabelschen Körper hinein. Bei dem auch heute noch unvollkommenen Stand der Einsicht in ihn – man kann ihn nach Furtwängler zwar durch kunstvolle Rechnungen bestätigen, aber nicht innerlich verstehen – muß man dem wissenschaftlichen Instinkt Hilberts, der diesen Satz, lediglich auf fast triviale Spezialfälle gestützt, vorausgesehen hat, staunende Bewunderung zollen.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 535. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/552&oldid=- (Version vom 9.10.2016)