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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

$Q_{r}^{2}=Q_{r'}^{2}$ d. h. $H_{r}=H_{r'}$ und folglich $r=r'$ sein. Aus $Q_{r}=Q_{r'}$ folgt auch zugleich $A=A'$, womit die Behauptung bewiesen ist.

Die Gleichsetzung der so gefundenen Anzahl $2^{c-1}f$ sämtlicher Klassen mit der vorhin angegebenen Zahl $gf$ ergibt $g=2^{c-1}$. Wir haben somit die am Anfang dieses Paragraphen gestellte Frage beantwortet und es gilt der Satz:

Die Anzahl der existierenden Geschlechter ist gleich der Hälfte der möglichen Charakterensysteme, nämlich $=2^{c-1}$, wo $c$ die Anzahl der das Geschlecht bestimmenden Charaktere bezeichnet.

§ 8. Das Reziprozitätsgesetz.

Nachdem im vorigen Paragraph gezeigt worden ist, daß nur die Hälfte aller möglichen Charakterensysteme wirklich unter den Geschlechtern vertreten ist, entsteht die Frage nach der Bedingung, welche ein Charakterensystem erfüllen muß, damit für dasselbe ein Geschlecht existiert. Diese Frage wird durch das schon von Dirichlet aufgestellte Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste und Nichtreste im Gebiete der ganzen imaginären Zahlen beantwortet.

Um zunächst den quadratischen Restcharakter der Zahl $i$ zu bestimmen, nehmen wir an, es sei $\varkappa$ eine von $1+i$ verschiedene Primzahl im Körper $k$ und überdies $\equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$. Da zufolge der in § 6 gemachten Bemerkung in dem durch ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmten Körper $K_{\varkappa }$ die Partialnorm der Grundeinheit $=\pm i$ ist, so muß nach dem zu Anfang des § 3 bewiesenen Satze $i$ quadratischer Rest von $\varkappa$ sein. Ist $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (10)$ nach $(1+i)^{4}$, so ist $i\varkappa \equiv (00)$ und folglich wird auch in diesem Falle $\textstyle \left[{\frac {i}{\varkappa }}\right]=+1$.

Wir betrachten ferner den durch ${\sqrt {i}}$ bestimmten Dirichletschen Körper $K_{i}$. In diesem ist offenbar $1+i$ der einzige Primfaktor der Partialdiskriminante. Das Symbol $\textstyle \left[{\frac {i}{1+i:i}}\right]$ wird $=+1$ und es gibt im Körper $K_{i}$ nur den einen Charakter $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:i}}\right]$. Die Zahl der möglichen Charakterensysteme in $K_{i}$ ist folglich $=2$ und da nur die Hälfte derselben durch Geschlechter vertreten ist, so gibt es nur ein Geschlecht und es ist folglich stets $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:i}}\right]=+1$, wo $\nu$ die Partialnorm eines beliebigen Ideals bedeutet. Es sei nun $\varkappa$ eine Primzahl und zwar $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{4}$; ist dann $i$ quadratischer Rest von $\varkappa$, so ist $\varkappa$ nach § 2 die Partialnorm eines Primideals und hieraus ergibt sich $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{1+i:i}}\right]=(-1)^{t'_{\varkappa }}=+1$ d. h. $t'_{\varkappa }=0$. Dieses Resultat ist die Umkehrung des vorigen; beide Resultate zusammen ergeben den Satz:

Wenn $\varkappa$ eine Primzahl und $\equiv (t_{\varkappa }t'_{\varkappa })$ nach $(1+i)^{4}$ ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl $i$ in bezug auf $\varkappa$ durch die Formel

$\left[{\frac {i}{\varkappa }}\right]=(-1)^{t'_{\varkappa }}$.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 43. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/60&oldid=- (Version vom 31.7.2018)