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Um den quadratischen Restcharakter von zu berechnen, betrachte ich zunächst den durch bestimmten Körper , wo eine Primzahl und nach ist. Da in diesem Körper nur ein Geschlecht vorhanden sein darf und, wie oben gezeigt, der Charakter ist, so folgt, daß die Norm eines jeden Ideals ebenfalls den Charakter haben muß. Da nach § 2 die Zahl in zwei ldeale des Körpers zerlegbar ist und folglich die Partialnorm eines Ideals ist, so folgt . Ist , so wird nach sein und mithin haben wir auch in diesem Falle .

Es sei jetzt eine Primzahl und nach . Nehmen wir nun an, so ist in dem durch bestimmten Körper zerlegbar und da in diesem Körper nur ein Geschlecht existiert und den Charakter besitzt, so ergibt sich auch , d. h. . Beide Resultate zusammengenommen bestimmen den quadratischen Restcharakter von in bezug auf für , und zwar gilt unter dieser Voraussetzung die Formel

.

Es sei endlich eine Primzahl und nach . In dem durch bestimmten Körper sind, wie man leicht ausrechnet, die Charaktere der Zahl beide und es existiert folglich nur ein Geschlecht. Wenn daher die Partialnorm eines Ideals ist, so müssen die beiden Charaktere der Zahl , nämlich die Symbole und entweder beide positiv oder beide negativ sein. Hieraus ergibt sich, falls wir nehmen, die Formel:

.

Die beiden soeben gewonnenen Formeln lassen sich in eine zusammenfassen und wir erhalten somit den Satz:

Wenn eine Primzahl und nach ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl in bezug auf durch die Formel:

.

Um endlich das Reziprozitätsgesetz für 2 beliebige von verschiedene Primzahlen abzuleiten, berücksichtigen wir den Umstand, daß von den beiden ganzen imaginären Zahlen und stets die eine nach ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 44. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/61&oldid=- (Version vom 31.7.2018)