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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

erkennt, die Klasse $C{\overline {a}}$ im biquadratischen Körper $K$ dem Hauptgeschlechte an und wird daher nach dem früher bewiesenen Satze gleich ${\overline {c'c''}}$; hieraus folgt $\textstyle C={\frac {\overline {c'c''}}{\overline {a}}}$.

Das nächste Ziel ist die Berechnung der Anzahl derjenigen Paare von Klassen $c'$, $c''$ der quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$, für welche ${\overline {c'c''}}=1$ wird. Wir bedürfen dazu folgender Begriffe und Sätze aus der Theorie der quadratischen Körper:

Ein Ideal des quadratischen Körpers, welches gleich seinem konjugierten und überdies durch keine ganze rationale Zahl teilbar ist, werde ein ambiges Ideal genannt. Die ambigen Ideale setzen sich aus ambigen Primidealen zusammen und diese bestimmen sich durch die Eigenschaft, daß ihre Quadrate den in der Diskriminante des Körpers enthaltenen rationalen Primzahlen gleich sind.

Eine Klasse des quadratischen Körpers, deren Quadrat die Hauptklasse ist, heißt eine ambige Klasse. Ist der quadratische Körper imaginär, so enthält jede ambige Klasse desselben ein ambiges Ideal und die Anzahl der ambigen Klassen ist $=2^{\sigma -1}$, wo $\sigma$ die Anzahl der in der Diskriminante aufgehenden rationalen Primzahlen ist.

Es seien $c'$, $c''$ zwei Klassen der quadratischen Körper $k'$ bezüglich $k''$ von der Art, daß ${\overline {c'c''}}=1$ wird. Wir wählen dann aus diesen Klassen $c'$ und $c''$ je ein Ideal ${\mathfrak {j}}'$ bezüglich ${\mathfrak {j}}''$ aus und setzen ${\mathfrak {j}}'{\mathfrak {j}}''={\mathsf {A}}$, wo ${\mathsf {A}}$ eine Zahl des biquadratischen Körpers $K$ bedeutet. Durch Anwendung der Substitution $S''$ ergibt sich leicht $({\mathfrak {j}}'\cdot S''{\mathfrak {j}}'){\mathfrak {j}}''^{2}={\mathsf {A}}S''{\mathsf {A}}$ d. h. ${\mathfrak {j}}''^{2}=\alpha ''$, wo $\alpha ''$ eine Zahl im quadratischen Körper $k''$ ist. Es folgt mithin, daß ${\mathfrak {j}}''$ einer ambigen Klasse $a''$ in $k''$ angehört und da $k''$ ein imaginärer quadratischer Körper ist, so ist dem eben angeführten Satze zufolge ${\mathfrak {j}}''$ einem ambigen Ideale ${\mathfrak {a}}''$ in $k''$ äquivalent. Nun liegen, wie man leicht erkennt, sämtliche ambigen Primideale des Körpers $k''$ zugleich auch in dem quadratischen Körper $k'$; ausgenommen ist lediglich der Fall $\partial \equiv 1$ nach $4$, in welchem das durch Zerlegung der Zahl $2$ entstehende ambige Primideal ${\mathfrak {l}}''$ im Körper $k''$, aber nicht im Körper $k'$ liegt. Da ${\mathfrak {l}}''=1+i$ und folglich ein Hauptideal des biquadratischen Körpers $K$ ist, so wird, wenn $l''$ die durch ${\mathfrak {l}}''$ bezeichnete Klasse in $k''$ bezeichnet, offenbar ${\overline {l''}}=1$. Es sei nun ${\mathfrak {a}}''$ nicht durch ${\mathfrak {l}}''$ teilbar und ${\mathfrak {a}}'$ dasjenige ambige Ideal in $k'$, welches, als Ideal in $K$ betrachtet, dem Ideal ${\mathfrak {a}}''$ gleich ist, und $a'$ sei die durch ${\mathfrak {a}}'$ bestimmte ambige Klasse in $k'$: es ist dann offenbar ${\overline {a'a''}}=1$. Somit gilt der Satz:

Zu jeder ambigen Klasse $a''$ in $k''$ und nur zu diesen läßt sich eine Klasse $a'$ in $k'$ finden derart, daß ${\overline {a'a''}}=1$ wird.

Es bleibt jetzt noch übrig, die Frage zu entscheiden, wann zu einer Klasse $a''$ des Körpers $k''$ mehr als eine Klasse $c'$ existiert, für welche ${\overline {c'a''}}=1$ wird.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 50. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/67&oldid=- (Version vom 31.7.2018)