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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.1

Erster Teil.

Die Theorie des allgemeinen Zahlkörpers.

1. Die algebraische Zahl und der Zahlkörper.

§ 1. Der Zahlkörper und die konjugierten Zahlkörper.

Eine Zahl $\alpha$ heißt eine algebraische Zahl, wenn sie einer Gleichung $m$-ten Grades von der Gestalt

$\alpha ^{m}+a_{1}\alpha ^{m-1}+a_{2}\alpha ^{m-2}+\cdots +a_{m}=0$

genügt, wo $a_{1}$, $a_{2}$, …‚ $a_{m}$ rationale Zahlen sind.

Sind $\alpha$, $\beta$, …‚ $\varkappa$ eine endliche Anzahl beliebiger algebraischer Zahlen, so bilden alle rationalen Funktionen von $\alpha$, $\beta$, …‚ $\varkappa$ mit ganzzahligen Koeffizienten ein in sich abgeschlossenes System von algebraischen Zahlen, welches Zahlkörper, Körper oder Rationalitätsbereich genannt wird [Dedekind (1^[1], 2^[2]), Kronecker (16^[3]]. Da insbesondere die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient zweier Zahlen eines Rationalitätsbereiches oder Körpers wieder eine Zahl des Körpers ist, so verhält sich der Begriff des Rationalitätsbereichs oder Körpers gegenüber den vier Rechnungsoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division invariant.

Satz 1. In jedem Körper $k$ gibt es eine Zahl $\vartheta$ derart, daß alle anderen Zahlen des Körpers ganze rationale Funktionen von $\vartheta$ mit rationalen Koeffizienten sind.

Der Grad $m$ der Gleichung niedrigsten Grades mit rationalen Koeffizienten, der eine solche Zahl $\vartheta$ genügt, heißt der Grad des Körpers k. Die Zahl $\vartheta$ wird eine den Körper bestimmende Zahl genannt. Die Gleichung $m$-ten Grades für $\vartheta$ ist in dem durch die rationalen Zahlen bestimmten Rationalitätsbereiche irreduzibel. Umgekehrt bestimmt jede Wurzel einer solchen irreduzibeln Gleichung einen Zahlkörper $m$-ten Grades. Sind $\vartheta '$, $\vartheta ''$, …, $\vartheta ^{(m-1)}$ die $m-1$ anderen Wurzeln der Gleichung, so heißen die bezüglich durch $\vartheta '$, $\vartheta ''$, …, $\vartheta ^{(m-1)}$ bestimmten Körper $k'$, $k''$, …, $k^{(m-1)}$ die zu $k$ konjugierten Körper. Ist $\alpha$ eine beliebige Zahl des Körpers $k$, und ist

$\alpha =c_{1}+c_{2}\vartheta +\cdots +c_{m}\vartheta ^{m-1}$,

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
2. Sur la théorie des nombres entiers algébriques. Paris 1877. Abdruck aus Bull. des sciences math. et astron. s. 1 t. XI und s. 2 t. I.^{[WS 2]}
3. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 3]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
2. Dedekind, Richard: Sur la théorie des nombres entiers algébriques., in: Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 2^e série Band 1, Folge 1 1877, S. 69-92. EuDML
3. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 69. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/86&oldid=- (Version vom 31.7.2018)