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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.2

Hier wird wiederum $A_{m-1}^{\ast }=a_{m-1}O_{m-1}$ sein; die Betrachtung der Differenz $\omega ^{\ast \ast }=\omega ^{\ast }-a_{m-1}\omega _{m-1}$ und die Fortsetzung dieser Schlußweise zeigt die Richtigkeit des Satzes 5.

Die Zahlen $\omega _{1}$, …‚ $\omega _{m}$ heißen eine Basis des Systems aller ganzen Zahlen des Körpers $k$, oder kurz eine Basis des Körpers $k$. Jede andere Basis $\omega _{1}^{\ast }$, …‚ $\omega _{m}^{\ast }$ des Körpers ist durch Formeln von der Gestalt

${\begin{alignedat}{3}\omega _{1}^{\ast }&=a_{11}&&\omega _{1}+\cdots +a_{1m}&&\omega _{m},\\&&&\qquad \vdots \\\omega _{m}^{\ast }&=a_{m1}&&\omega _{1}+\cdots +a_{mm}&&\omega _{m}\\\end{alignedat}}$

gegeben, wo die Determinante der ganzzahligen Koeffizienten $a$ gleich $\pm 1$ ist [Dedekind (1)^[1], Kronecker (16^[2])].

2. Die Ideale des Zahlkörpers.

§ 4. Die Multiplikation der Ideale und ihre Teilbarkeit. Das Primideal.

Die erste wichtige Aufgabe der Theorie der Zahlkörper ist die Aufstellung der Gesetze über die Zerlegung (Teilbarkeit) der ganzen algebraischen Zahlen. Diese Gesetze sind von bewundernswerter Schönheit und Einfachheit. Sie zeigen eine genaue Analogie mit den elementaren Teilbarkeitsgesetzen in der Theorie der ganzen rationalen Zahlen und besitzen die gleiche fundamentale Bedeutung. Sie sind für den besonderen Fall des Kreiskörpers zuerst von Kummer entdeckt worden [Kummer (5^[3], 6^[4])]; ihre Ergründung für den allgemeinen Zahlkörper ist das Verdienst von Dedekind und Kronecker. Die grundlegenden Begriffe dieser Theorie sind folgende:

Ein System von unendlich vielen ganzen algebraischen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … des Körpers $k$, welches die Eigenschaft besitzt, daß eine jede lineare Kombination $\lambda _{1}\alpha _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}+\cdots$ derselben wiederum dem System angehört, heißt ein Ideal ${\mathfrak {a}}$; dabei bedeuten $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, … ganze algebraische Zahlen des Körpers $k$.

Satz 6. In einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ gibt es stets $m$ Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ von der Art, daß eine jede andere Zahl des Ideals gleich einer linearen Kombination derselben von der Gestalt

$\iota =l_{1}\iota _{1}+\cdots +l_{m}\iota _{m}$

ist, wo $l_{1}$, …, $l_{m}$ ganze rationale Zahlen sind.

Beweis: Es sei $s$ eine bestimmte von den $m$ Zahlen $1$, $2$, …, $m$; dann denken wir uns alle Zahlen des Ideals von der Gestalt

${\begin{alignedat}{4}\iota _{s}&=J_{1}&&\omega _{1}+\cdots +J_{s}&&\omega _{s},\\\iota _{s}^{(1)}&=J_{1}^{(1)}&&\omega _{1}+\cdots +J_{s}^{(1)}&&\omega _{s},\\&&&\qquad \vdots \\\end{alignedat}}$

aufgestellt, wo $J$, $J^{(1)}$, … ganze rationale Zahlen sind, und wir nehmen an, daß etwa $J_{s}\neq 0$ und der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Zahlen

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}
2. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 2]}
3. Zur Theorie der komplexen Zahlen. J. Math. 35 (1847).^{[WS 3]}
4. Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).^{[WS 4]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
2. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
3. Kummer, Ernst Eduard: Zur Theorie der complexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 319–326 GDZ Göttingen
4. Kummer, Ernst Eduard: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 327–367 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 73. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/90&oldid=- (Version vom 31.7.2018)