David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.2

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.2 Die Ideale des Zahlkörpers.

7.3 Die Kongruenzen nach Idealen. →

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2. Die Ideale des Zahlkörpers.

§ 4. Die Multiplikation der Ideale und ihre Teilbarkeit. Das Primideal.

Die erste wichtige Aufgabe der Theorie der Zahlkörper ist die Aufstellung der Gesetze über die Zerlegung (Teilbarkeit) der ganzen algebraischen Zahlen. Diese Gesetze sind von bewundernswerter Schönheit und Einfachheit. Sie zeigen eine genaue Analogie mit den elementaren Teilbarkeitsgesetzen in der Theorie der ganzen rationalen Zahlen und besitzen die gleiche fundamentale Bedeutung. Sie sind für den besonderen Fall des Kreiskörpers zuerst von Kummer entdeckt worden [Kummer (5^[1], 6^[2])]; ihre Ergründung für den allgemeinen Zahlkörper ist das Verdienst von Dedekind und Kronecker. Die grundlegenden Begriffe dieser Theorie sind folgende:

Ein System von unendlich vielen ganzen algebraischen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … des Körpers $k$, welches die Eigenschaft besitzt, daß eine jede lineare Kombination $\lambda _{1}\alpha _{1}+\lambda _{2}\alpha _{2}+\cdots$ derselben wiederum dem System angehört, heißt ein Ideal ${\mathfrak {a}}$; dabei bedeuten $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, … ganze algebraische Zahlen des Körpers $k$.

Satz 6. In einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ gibt es stets $m$ Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ von der Art, daß eine jede andere Zahl des Ideals gleich einer linearen Kombination derselben von der Gestalt

$\iota =l_{1}\iota _{1}+\cdots +l_{m}\iota _{m}$

ist, wo $l_{1}$, …, $l_{m}$ ganze rationale Zahlen sind.

Beweis: Es sei $s$ eine bestimmte von den $m$ Zahlen $1$, $2$, …, $m$; dann denken wir uns alle Zahlen des Ideals von der Gestalt

${\begin{alignedat}{4}\iota _{s}&=J_{1}&&\omega _{1}+\cdots +J_{s}&&\omega _{s},\\\iota _{s}^{(1)}&=J_{1}^{(1)}&&\omega _{1}+\cdots +J_{s}^{(1)}&&\omega _{s},\\&&&\qquad \vdots \\\end{alignedat}}$

aufgestellt, wo $J$, $J^{(1)}$, … ganze rationale Zahlen sind, und wir nehmen an, daß etwa $J_{s}\neq 0$ und der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Zahlen $J_{s}$, $J_{s}^{(1)}$, … ist. Dann folgt, wie auf S. 72, daß die $m$ Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ die verlangte Beschaffenheit haben.

Die Zahlen $\iota _{1}$, …, $\iota _{m}$ heißen eine Basis des Ideals ${\mathfrak {a}}$. Jede andere Basis $\iota _{1}^{*}$, …, $\iota _{m}^{*}$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$ ist durch Formeln von der Gestalt

${\begin{aligned}\iota _{1}^{*}&=a_{11}\iota _{1}+\cdots +a_{1m}\iota _{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\\iota _{m}^{*}&=a_{m1}\iota _{1}+\cdots +a_{mm}\iota _{m}\end{aligned}}$

gegeben, wo die Determinante der ganzzahligen Koeffizienten $a$ gleich $\pm 1$ ist.

Sind $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ irgend $r$ solche Zahlen des Ideals ${\mathfrak {a}}$, durch deren lineare Kombination unter Benutzung ganzer algebraischer Koeffizienten $\lambda$ des Körpers alle Zahlen des Ideals erhalten werden können, so schreibe ich kurz

${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$.

Wenn ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ und ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})$ zwei Ideale sind, so werde dasjenige Ideal, welches entsteht, wenn man alle Zahlen $\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r}$ und $\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s}$ zusammen nimmt, kurz mit $({\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}})$ bezeichnet, d. h. ich schreibe

$({\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}})=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r}),\,\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s}$.

Ein Ideal, welches alle und nur die Zahlen von der Gestalt $\lambda \alpha$ enthält, wo $\lambda$ jede beliebige ganze Zahl des Körpers darstellt und $\alpha \neq 0$ eine bestimmte ganze Zahl des Körpers bedeutet, heißt ein Hauptideal und wird mit $(\alpha )$ oder auch kurz mit $\alpha$ bezeichnet, falls eine Verwechselung mit der Zahl $\alpha$ ausgeschlossen erscheint.

Eine jede Zahl $\alpha$ des Ideals ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ heißt kongruent $0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {a}}$ oder in Zeichen:

$\alpha \equiv 0,\quad ({\mathfrak {a}})$.

Wenn die Differenz zweier Zahlen $\alpha$ und $\beta$ kongruent $0$ nach ${\mathfrak {a}}$ ist, so heißen $\alpha$ und $\beta$ einander kongruent nach ${\mathfrak {a}}$ oder in Zeichen

$\alpha \equiv \beta ,\quad ({\mathfrak {a}})$;

sonst heißen sie einander inkongruent oder in Zeichen

$\alpha \not \equiv \beta ,\quad ({\mathfrak {a}})$.

Wenn man jede Zahl eines Ideals ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ mit jeder Zahl eines zweiten Ideals ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})$ multipliziert und die so erhaltenen Zahlen linear mittels beliebiger ganzer algebraischer Koeffizienten des Körpers kombiniert, so wird das so entstehende neue Ideal das Produkt der beiden Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ genannt, d. h. in Zeichen

${\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}}=(\alpha _{1}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r}\beta _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{1}\beta _{s},\,\ldots ,\,\alpha _{r}\beta _{s})$.

Ein Ideal ${\mathfrak {c}}$ heißt durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ teilbar, wenn ein Ideal ${\mathfrak {b}}$ existiert derart, daß ${\mathfrak {c=ab}}$ ist. Ist ein Ideal ${\mathfrak {c}}$ durch das Ideal ${\mathfrak {a}}$ teilbar, so sind alle Zahlen von ${\mathfrak {c}}$ kongruent $0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {a}}$. Betreffs der Teiler eines Ideals gilt ferner die Tatsache:

Hilfssatz 1. Ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ ist nur durch eine endliche Anzahl von ldealen teilbar.

Beweis: Man bilde die Norm $n$ einer beliebigen Zahl $\iota (\neq 0)$ des Ideals ${\mathfrak {j}}$; ist dann etwa ${\mathfrak {a}}$ ein Teiler des Ideals ${\mathfrak {j}}$, so ist offenbar auch die ganze rationale Zahl $n\equiv 0$ nach ${\mathfrak {a}}$. Die $m$ Basiszahlen von ${\mathfrak {a}}$ seien von der Gestalt

$\alpha _{1}=a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\,\ldots ,\alpha _{m}=a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m}$,

wo $a_{11}$, …, $a_{mm}$ ganze rationale Zahlen sind. Bedeuten $a'_{11}$, …, $a'_{mm}$ bezüglich die kleinsten positiven Reste der Zahlen $a_{11}$, …, $a_{mm}$ nach $n$, so wird

${\begin{aligned}{\mathfrak {a}}&=(a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\,\ldots ,\,a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m})\\&=(a'_{11}\omega _{1}+\cdots +a'_{1m}\omega _{m},\,\ldots ,\,a'_{m1}\omega _{1}+\cdots +a'_{mm}\omega _{m},\,n),\end{aligned}}$

und diese letztere Darstellung des Idealteilers ${\mathfrak {a}}$ läßt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung erkennen.

Ein von $1$ verschiedenes Ideal, welches durch kein anderes Ideal teilbar ist, außer durch das Ideal $1$ und durch sich selbst, heißt ein Primideal. Zwei Ideale heißen zu einander prim, wenn sie außer 1 keinen gemeinsamen Idealteiler besitzen. Zwei ganze Zahlen $\alpha$ und $\beta$, bez. eine ganze Zahl $\alpha$ und ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ heißen zu einander prim, wenn die Hauptideale ($\alpha$) und ($\beta$), bez. das Hauptideal ($\alpha$) und das Ideal ${\mathfrak {a}}$ zueinander prim sind [Dedekind (1^[3])].

§ 5. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Ideals in Primideale.

Es gilt die fundamentale Tatsache:

Satz 7. Ein, jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ läßt sich stets auf eine und nur auf eine Weise als Produkt von Primidealen darstellen.

Dedekind hat seinen Beweis dieses Satzes kürzlich von neuem auseinandergesetzt [Dedekind (1^[3])]. Das von Kronecker eingeschlagene Beweisverfahren beruht auf der von ihm geschaffenen Theorie der einem Zahlkörper zugehörigen algebraischen Formen. Die Bedeutung dieser Formentheorie tritt deutlicher hervor, wenn man zuerst direkt die Sätze der Idealtheorie ableitet; hierbei leistet folgender Hilfssatz wesentliche Dienste:

Hilfssatz 2. Wenn die Koeffizienten $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\beta _{1}$, $\beta _{2}$, … der beiden ganzen Funktionen einer Veränderlichen $x$

${\begin{aligned}F(x)&=\alpha _{1}x^{r}+\alpha _{2}x^{r-1}+\cdots ,\\G(x)&=\beta _{1}x^{s}+\beta _{2}x^{s-1}+\cdots \end{aligned}}$

ganze algebraische Zahlen sind und die Koeffizienten $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, … des Produktes beider Funktionen

$F(x)G(x)=\gamma _{1}x^{r+s}+\gamma _{2}x^{r+s-1}+\cdots$

sämtlich durch die ganze Zahl $\omega$ teilbar sind, so ist auch jede der Zahlen

$\alpha _{1}\beta _{1}$, $\alpha _{1}\beta _{2}$, …, $\alpha _{2}\beta _{1}$, $\alpha _{2}\beta _{2}$, … durch $\omega$ teilbar [Kronecker (19^[4]), Dedekind (7^[5]), Mertens (1^[6]), Hurwitz (1^[7], 2^[8])].

Aus diesem Hilfssatze ergeben sich leicht der Reihe nach die Sätze [Hurwitz (1^[7])]:

Satz 8. Zu jedem vorgelegten Ideale ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ läßt sich stets ein Ideal ${\mathfrak {b}}$ so finden, daß das Produkt ${\mathfrak {ab}}$ ein Hauptideal wird.

Beweis: Setzt man

$F(x)=\alpha _{1}x^{r}+\alpha _{2}x^{r-1}+\cdots$

und

$F^{(i)}(x)=\alpha _{1}^{(i)}x^{r}+\alpha _{2}^{(i)}x^{r-1}+\cdots$     $(i=1,\,\ldots ,\,m-1)$,

wo $\alpha _{k}^{(i)}$ die zu $\alpha _{k}$ konjugierten Zahlen sind und bildet

$R=\prod \limits _{i=1}^{m-1}F^{(i)}(x)=\beta _{1}+\beta _{2}x+\cdots$,

wo $\beta _{1}$, $\beta _{2}$, … ganze Zahlen des Körpers $k$ sind, so ist $FR=nU$, wo $n$ eine ganze rationale Zahl und $U$ eine ganzzahlige Funktion bedeutet, deren Koeffizienten keinen gemeinsamen Teiler haben. Hieraus folgt, daß $n\equiv 0$ nach dem Produkt der beiden Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\beta _{s})$ ist. Der Hilfssatz 2 lehrt ferner, daß auch umgekehrt jede Zahl $\alpha _{i}\beta _{h}$ sich durch $n$ teilen läßt. Es ist daher ${\mathfrak {ab}}=n$.

Satz 9. Wenn die drei Ideale ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$, ${\mathfrak {c}}$ der Gleichung ${\mathfrak {ac=bc}}$ genügen, wobei ${\mathfrak {c}}\neq 0$, so ist ${\mathfrak {a=b}}$.

Beweis: Es sei ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal von der Art, daß ${\mathfrak {cm}}$ ein Hauptideal ($\alpha$) wird. Aus der Voraussetzung folgt ${\mathfrak {acm=bcm}}$ oder $\alpha {\mathfrak {a}}=\alpha {\mathfrak {b}}$ und mithin ${\mathfrak {a=b}}$.

Satz 10. Wenn alle Zahlen eines Ideals ${\mathfrak {c}}\equiv 0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {a}}$ sind, so ist ${\mathfrak {c}}$ durch ${\mathfrak {a}}$ teilbar.

Beweis: Ist ${\mathfrak {am}}$ gleich dem Hauptideal ($\alpha$), so sind alle Zahlen des Ideals ${\mathfrak {mc}}$ durch $\alpha$ teilbar, und mithin gibt es ein Ideal ${\mathfrak {b}}$ derart, daß ${\mathfrak {mc}}=\alpha {\mathfrak {b}}$ wird. Folglich ist ${\mathfrak {amc}}=\alpha {\mathfrak {ab}}$, d. h. $\alpha {\mathfrak {c}}=\alpha {\mathfrak {ab}}$, und folglich ${\mathfrak {c}}={\mathfrak {ab}}$.

Satz 11. Wenn das Produkt zweier Ideale ${\mathfrak {ab}}$ durch das Primideal ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist, so ist wenigstens eines der Ideale ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar.

Beweis: Wäre ${\mathfrak {a}}$ nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, so würde das Ideal (${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {p}}$) ein von ${\mathfrak {p}}$ verschiedenes und zugleich in ${\mathfrak {p}}$ aufgehendes Ideal, d. h. $=1$ sein; demnach wäre $1=\alpha +\pi$, wo $\alpha$ eine Zahl in ${\mathfrak {a}}$ und $\pi$ eine Zahl in ${\mathfrak {p}}$ bedeutet, und hieraus ergibt sich durch Multiplikation mit einer beliebigen Zahl $\beta$ in ${\mathfrak {b}}$ die Beziehung $\beta =\alpha \beta +\pi \beta \equiv \alpha \beta$ nach ${\mathfrak {p}}$. Zufolge der Voraussetzung ist $\alpha \beta \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ und folglich auch $\beta \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$.

Nunmehr beweist man den Fundamentalsatz 7 der Idealtheorie, wie folgt: Ist ${\mathfrak {j}}$ nicht selbst ein Primideal, so sei ${\mathfrak {j=ab}}$, wo ${\mathfrak {a}}$ einen von ${\mathfrak {j}}$ und $1$ verschiedenen Teiler von ${\mathfrak {j}}$ bedeutet. Ist nun einer der Faktoren ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ nicht ein Primideal, so stellen wir denselben in gleicher Weise als Produkt zweier Ideale dar und erhalten somit ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {a'b'c'}}$, und so fahren wir fort. Dieses Verfahren bricht notwendig ab; nach Hilfssatz 1 gibt es nämlich nur eine endliche Anzahl von Teilern des Ideals ${\mathfrak {j}}$. Ist $r$ diese Anzahl, so kann jedenfalls ${\mathfrak {j}}$ nicht gleich einem Produkt von mehr als $r$ Faktoren sein, da eine Darstellung ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {a}}_{1}\ldots {\mathfrak {a}}_{r+1}$ die Existenz der $r+1$ untereinander verschiedenen Idealteiler

${\mathfrak {a}}_{1},\quad {\mathfrak {a}}_{1}{\mathfrak {a}}_{2},\quad {\mathfrak {a}}_{1}{\mathfrak {a}}_{2}{\mathfrak {a}}_{3},\quad \ldots ,\quad {\mathfrak {a}}_{1}\ldots {\mathfrak {a}}_{r+1}$

bedingen würde. Der letzte Schritt des eingeschlagenen Verfahrens liefert die gewünschte Darstellung

${\mathfrak {j}}={\mathfrak {pq\ldots l}}$.

Diese Darstellung ist eindeutig. Denn wäre zugleich ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {p}}'{\mathfrak {q}}'\ldots {\mathfrak {l}}'$, so wird ${\mathfrak {j}}$ durch ${\mathfrak {p}}'$ und folglich nach Satz 11 einer der Faktoren ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {l}}$, etwa ${\mathfrak {p}}$, durch ${\mathfrak {p}}'$ teilbar sein, d. h. es wäre ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}'$, und folglich ergibt sich nach Satz 9 die Gleichung ${\mathfrak {q}}\ldots {\mathfrak {l}}={\mathfrak {q}}'\ldots {\mathfrak {l}}'$, welche wie die ursprüngliche zu behandeln ist.

Der Fundamentalsatz 7 läßt leicht die folgende Tatsache erkennen:

Satz 12. Ein jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k$ kann als größter gemeinsamer Teller zweier ganzen Zahlen $\varkappa$, $\varrho$ dargestellt werden.

Beweis: Ist $\varkappa$ eine beliebige durch ${\mathfrak {j}}$ teilbare ganze Zahl, $\varrho$ jedoch eine solche durch ${\mathfrak {j}}$ teilbare ganze Zahl, daß $\textstyle {\frac {\varrho }{\mathfrak {j}}}$ zu $\textstyle {\frac {\varkappa }{\mathfrak {j}}}$ prim ausfällt, so ist ${\mathfrak {j}}=(\varkappa ,\varrho )$. Eine solche Zahl $\varrho$ kann man folgendermaßen finden: Sind ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{r}$ sämtliche in $\varkappa$ aufgehenden Primideale, und ist ${\mathfrak {j}}={\mathfrak {p}}_{1}^{a_{1}}\ldots {\mathfrak {p}}_{r}^{a_{r}}$, wobei die $a_{i}\geqq 0$ sind, so besitzen die $r$ Ideale ${\mathfrak {d}}_{i}={\mathfrak {p}}_{1}^{a_{1}+1}\ldots {\mathfrak {p}}_{i-1}^{a_{i-1}+1}{\mathfrak {p}}_{i+1}^{a_{i+1}+1}\ldots {\mathfrak {p}}_{r}^{a_{r}+1}$ keinen gemeinsamen Teiler; es gibt also $r$ Zahlen $\delta _{i}$, so daß $\delta _{i}$ in ${\mathfrak {d}}_{i}$ liegt und

$\delta _{1}+\delta _{2}+\cdots +\delta _{r}=1$

ist. Bedeutet ferner $\alpha _{i}$ eine Zahl, die in ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}}$, aber nicht in ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}+1}$ liegt, so setze man

$\varrho =\alpha _{1}\delta _{1}+\cdots +\alpha _{r}\delta _{r}$.

$\varrho$ ist dann genau durch ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {p}}_{i}^{a_{i}+1}$ teilbar.

§ 6. Die Formen des Zahlkörpers und ihre Inhalte.

Die Kroneckersche Formentheorie [Kronecker (16^[9])] erfordert folgende weitere Begriffsbildungen:

Eine ganze rationale Funktion $F$ von beliebig vielen Veränderlichen $u$, $v$, …, deren Koeffizienten ganze algebraische Zahlen des Körpers $k$ sind, heißt eine Form des Körpers $k$. Werden in einer Form $F$ statt der Koeffizienten der Reihe nach bezüglich die konjugierten Zahlen eingesetzt und die so entstehenden sogenannten konjugierten Formen $F'$, …, $F^{(m-1)}$ miteinander und mit der ursprünglichen Form $F$ multipliziert, so ergibt sich als Produkt eine ganze Funktion der Veränderlichen $u$, $v$, …, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind; dieselbe werde in der Gestalt

$nU(u,\,v\,\ldots )$

angenommen, wo $n$ eine positive ganze rationale Zahl und $U$ eine ganze rationale Funktion bedeutet, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind. $n$ heißt die Norm der Form $F$. Wenn die Norm $n$ einer Form gleich $1$ ist, so heißt die Form eine Einheitsform. Eine ganze Funktion, deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind, heißt eine rationale Einheitsform. Zwei Formen heißen einander inhaltsgleich^[10] (in Zeichen $\simeq$), wenn ihr Quotient gleich dem Quotienten zweier Einheitsformen ist. Insbesondere ist jede Einheitsform $\simeq 1$. Eine Form $H$ heißt durch die Form $F$ teilbar, wenn eine Form $G$ existiert, derart, daß $H\simeq FG$ ist. Eine Form $P$ heißt eine Primform, wenn $P$ im Sinne der Inhaltsgleichheit durch keine andere Form außer durch $l$ und durch sich selbst teilbar ist.

Die Beziehung der Kroneckerschen Formentheorie zur Theorie der Ideale wird klar durch die Bemerkung, daß aus jedem Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ eine Form $F$ gebildet werden kann, indem man die Zahlen $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ mit beliebigen voneinander verschiedenen Produkten aus Potenzen der Unbestimmten $u$, $v$, … multipliziert und zueinander addiert. Umgekehrt liefert eine jede Form $F$ mit den Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ ein Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$. Dieses Ideal ${\mathfrak {a}}$ nenne ich den Inhalt der Form $F$. Dann gilt folgende Tatsache:

Satz 13. Der Inhalt des Produktes zweier Formen ist gleich dem Produkte ihrer Inhalte.

Beweis: Es seien $F$ und $G$ Formen mit beliebigen Veränderlichen und den Koeffizienten $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ bezüglich $\beta _{1}$, …, $\beta _{s}$, und es sei das Produkt $H=FG$ eine Form mit den Koeffizienten $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{t}$. Ferner sei ${\mathfrak {p}}^{a}$ die höchste in ${\mathfrak {a}}=(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})$ und ${\mathfrak {p}}^{b}$ die höchste in ${\mathfrak {b}}=(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})$ aufgehende Potenz des Primideals ${\mathfrak {p}}$. Man denke sich ferner die Glieder der beiden Formen $F$ und $G$ zunächst nach absteigenden Potenzen von $u$ und dann die mit der nämlichen Potenz von $u$ multiplizierten Glieder nach absteigenden Potenzen von $v$ geordnet usf. Bei dieser Anordnung sei $\alpha u^{h}v^{l}$ … das erste in $F$ vorkommende Glied, dessen Koeffizient $\alpha$ durch keine höhere als die $a$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$, und andererseits sei $\beta u^{h'}v^{l'}$ … das erste in $G$ vorkommende Glied, dessen Koeffizient $\beta$ durch keine höhere als die $b$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar ist: dann ist offenbar der Koeffizient $\gamma$ des Gliedes $\gamma u^{h+h'}v^{l+l'}$ … in $H$ durch keine höhere als die $(a+b)$-te Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar. Alle übrigen Koeffizienten von $H$ sind aber gewiß auch durch ${\mathfrak {p}}^{a+b}$ teilbar. Somit folgt die Behauptung $(\alpha _{1},\,\ldots ,\,\alpha _{r})(\beta _{1},\,\ldots ,\,\beta _{s})=(\gamma _{1},\,\ldots ,\,\gamma _{t})$.

Aus Satz 13 folgt insbesondere leicht, daß eine jede Einheitsform den Inhalt $1$ besitzt, und daß umgekehrt jede Form, deren Koeffizienten den größten gemeinsamen Idealteiler $1$ haben, eine Einheitsform ist. Mithin haben inhaltsgleiche Formen stets den nämlichen Inhalt, und umgekehrt sind alle Formen von dem nämlichen Inhalt einander inhaltsgleich. Speziell sind zwei beliebige Formen mit gleichen Koeffizienten stets einander inhaltsgleich.

Weitere Folgerungen aus Satz 13 sind:

Satz 14. Wenn $F$ eine vorgelegte Form ist, so läßt sich dazu stets eine Form finden derart, daß $FR$ einer ganzen Zahl inhaltsgleich ist.

Satz 15. Wenn das Produkt zweier Formen durch eine Primform $P$ teilbar ist, so ist wenigstens eine der beiden Formen durch $P$ teilbar.

Satz 16. Jede Form ist im Sinne der Inhaltsgleichheit auf eine und nur auf eine Weise als Produkt von Primformen darstellbar.

Diese Sätze laufen parallel bezüglich mit den Sätzen 8, 11 und dem Fundamentalsatze 7 der Idealtheorie.

Außer den von Dedekind und Kronecker eingeschlagenen Wegen führen noch zwei einfachere Methoden zum Beweise des Fundamentalsatzes 7; der einen Methode liegt die Theorie des Galoisschen Zahlkörpers zugrunde. Vgl. § 36 [Hilbert (2^[11], 3^[12])]. Die zweite Methode geht von dem Satze aus, daß sich die Ideale eines Körpers auf eine endliche Anzahl von Idealklassen verteilen. Der zum Beweise dieses Satzes erforderliche Grundgedanke kann als eine Verallgemeinerung desjenigen Ansatzes angesehen werden, auf welchem das bekannte Euklidische Divisionsverfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzen rationalen Zahlen beruht [Hurwitz (3^[13])].

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1. Zur Theorie der komplexen Zahlen. J. Math. 35 (1847).^{[WS 1]}
2. Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).^{[WS 2]}
3. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 3]}
4. Zur Theorie der Formen höherer Stufen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1883.^{[WS 4]}
5. Über einen arithmetischen Satz von Gauss. Mitt. dtsch. math. Ges. Prag 1892^{[WS 5]} und: Über die Begründung der Idealtheorie. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 6]}
6. Über einen algebraischen Satz. Ber. K. Akad. Wiss. Wien 1892.^{[WS 7]}
7. Über die Theorie der Ideale. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1894.^{[WS 8]}
8. Über einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 9]}
9. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Math. 92 (1882).^{[WS 10]}
10. Nach Kronecker „äquivalent in engeren Sinne“.
11. Zwei neue Beweise für die Zerlegbarkeit der Zahlen eines Körpers in Primideale. Jber. Dtsch. Mathem.-Verein. 3 (1893).
12. Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale. Math. Ann. 44 (1894).
13. Zur Theorie der algebraischen Zahlen, Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 11]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Zur Theorie der complexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 319–326 GDZ Göttingen
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 327–367 GDZ Göttingen
3. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
4. Kronecker, Leopold: Zur Theorie der Formen höherer Stufen, in: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin der Wissenschaften zu Berlin, 1883, Bd. 2, S. 957–960 Berlin-Brandenburgische Akademie
5. Dedekind, Richard: Über einen arithmetischen Satz von Gauß, in: Mittheilungen der Deutschen Mathematischen Gesellschaft in Prag, 1892, S. 1–11 GDZ Göttingen
6. Dedekind, Richard: Ueber die Begründung der Idealtheorie, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 106–113 GDZ Göttingen
7. Mertens, Franz: Über einen algebraischen Satz, in: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien – mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, Bd. 101 (1892), S. 1560-1566 landesmuseum.at und Bd. 106,2 (1897) S. 422–430 landesmuseum.at
8. Hurwitz, Adolf: Ueber die Theorie der Ideale, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1894, S. 291–298 GDZ Göttingen
9. Hurwitz, Adolf: Ueber einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der allgebraischen Grössen, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 230–240 GDZ Göttingen
10. Kronecker, Leopold: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 92 (1882), S. 1–122 GDZ Göttingen
11. Hurwitz, Adolf: Zur Theorie der algebraischen Zahlen, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 324–331 GDZ Göttingen

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