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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.2

von ${\mathfrak {c}}$ kongruent $0$ nach dem Ideal ${\mathfrak {a}}$. Betreffs der Teiler eines Ideals gilt ferner die Tatsache:

Hilfssatz 1. Ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ ist nur durch eine endliche Anzahl von ldealen teilbar.

Beweis: Man bilde die Norm $n$ einer beliebigen Zahl $\iota (\neq 0)$ des Ideals ${\mathfrak {j}}$; ist dann etwa ${\mathfrak {a}}$ ein Teiler des Ideals ${\mathfrak {j}}$, so ist offenbar auch die ganze rationale Zahl $n\equiv 0$ nach ${\mathfrak {a}}$. Die $m$ Basiszahlen von ${\mathfrak {a}}$ seien von der Gestalt

$\alpha _{1}=a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\,\ldots ,\alpha _{m}=a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m}$,

wo $a_{11}$, …, $a_{mm}$ ganze rationale Zahlen sind. Bedeuten $a'_{11}$, …, $a'_{mm}$ bezüglich die kleinsten positiven Reste der Zahlen $a_{11}$, …, $a_{mm}$ nach $n$, so wird

${\begin{aligned}{\mathfrak {a}}&=(a_{11}\omega _{1}+\cdots +a_{1m}\omega _{m},\,\ldots ,\,a_{m1}\omega _{1}+\cdots +a_{mm}\omega _{m})\\&=(a'_{11}\omega _{1}+\cdots +a'_{1m}\omega _{m},\,\ldots ,\,a'_{m1}\omega _{1}+\cdots +a'_{mm}\omega _{m},\,n),\end{aligned}}$

und diese letztere Darstellung des Idealteilers ${\mathfrak {a}}$ läßt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung erkennen.

Ein von $1$ verschiedenes Ideal, welches durch kein anderes Ideal teilbar ist, außer durch das Ideal $1$ und durch sich selbst, heißt ein Primideal. Zwei Ideale heißen zu einander prim, wenn sie außer 1 keinen gemeinsamen Idealteiler besitzen. Zwei ganze Zahlen $\alpha$ und $\beta$, bez. eine ganze Zahl $\alpha$ und ein Ideal ${\mathfrak {a}}$ heißen zu einander prim, wenn die Hauptideale ($\alpha$) und ($\beta$), bez. das Hauptideal ($\alpha$) und das Ideal ${\mathfrak {a}}$ zueinander prim sind [Dedekind (1^[1])].

§ 5. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Ideals in Primideale.

Es gilt die fundamentale Tatsache:

Satz 7. Ein, jedes Ideal ${\mathfrak {j}}$ läßt sich stets auf eine und nur auf eine Weise als Produkt von Primidealen darstellen.

Dedekind hat seinen Beweis dieses Satzes kürzlich von neuem auseinandergesetzt [Dedekind (1^[1])]. Das von Kronecker eingeschlagene Beweisverfahren beruht auf der von ihm geschaffenen Theorie der einem Zahlkörper zugehörigen algebraischen Formen. Die Bedeutung dieser Formentheorie tritt deutlicher hervor, wenn man zuerst direkt die Sätze der Idealtheorie ableitet; hierbei leistet folgender Hilfssatz wesentliche Dienste:

Hilfssatz 2. Wenn die Koeffizienten $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\beta _{1}$, $\beta _{2}$, … der beiden ganzen Funktionen einer Veränderlichen $x$

${\begin{aligned}F(x)&=\alpha _{1}x^{r}+\alpha _{2}x^{r-1}+\cdots ,\\G(x)&=\beta _{1}x^{s}+\beta _{2}x^{s-1}+\cdots \end{aligned}}$

ganze algebraische Zahlen sind und die Koeffizienten $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$, … des Produktes beider Funktionen

$F(x)G(x)=\gamma _{1}x^{r+s}+\gamma _{2}x^{r+s-1}+\cdots$

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 75. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/92&oldid=- (Version vom 21.1.2022)