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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.3

Aus Satz 13 folgt insbesondere leicht, daß eine jede Einheitsform den Inhalt $1$ besitzt, und daß umgekehrt jede Form, deren Koeffizienten den größten gemeinsamen Idealteiler $1$ haben, eine Einheitsform ist. Mithin haben inhaltsgleiche Formen stets den nämlichen Inhalt, und umgekehrt sind alle Formen von dem nämlichen Inhalt einander inhaltsgleich. Speziell sind zwei beliebige Formen mit gleichen Koeffizienten stets einander inhaltsgleich.

Weitere Folgerungen aus Satz 13 sind:

Satz 14. Wenn $F$ eine vorgelegte Form ist, so läßt sich dazu stets eine Form finden derart, daß $FR$ einer ganzen Zahl inhaltsgleich ist.

Satz 15. Wenn das Produkt zweier Formen durch eine Primform $P$ teilbar ist, so ist wenigstens eine der beiden Formen durch $P$ teilbar.

Satz 16. Jede Form ist im Sinne der Inhaltsgleichheit auf eine und nur auf eine Weise als Produkt von Primformen darstellbar.

Diese Sätze laufen parallel bezüglich mit den Sätzen 8, 11 und dem Fundamentalsatze 7 der Idealtheorie.

Außer den von Dedekind und Kronecker eingeschlagenen Wegen führen noch zwei einfachere Methoden zum Beweise des Fundamentalsatzes 7; der einen Methode liegt die Theorie des Galoisschen Zahlkörpers zugrunde. Vgl. § 36 [Hilbert (2^[1], 3^[2])]. Die zweite Methode geht von dem Satze aus, daß sich die Ideale eines Körpers auf eine endliche Anzahl von Idealklassen verteilen. Der zum Beweise dieses Satzes erforderliche Grundgedanke kann als eine Verallgemeinerung desjenigen Ansatzes angesehen werden, auf welchem das bekannte Euklidische Divisionsverfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzen rationalen Zahlen beruht [Hurwitz (3^[3])].

3. Die Kongruenzen nach Idealen.

§ 7. Die Norm eines Ideals und ihre Eigenschaften.

Die in Kapitel 2 entwickelte Theorie der Zerlegung der Ideale eines Körpers gestattet es, die elementaren Sätze der Theorie der rationalen Zahlen auf die Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers zu übertragen. Wir stellen folgende allgemeine Begriffe und Sätze voran.

Die Anzahl aller nach einem Ideal ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenten ganzen Zahlen des Körpers heißt die Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$: in Zeichen $n({\mathfrak {a}})$.

Satz 17. Die Norm eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ ist eine Potenz der durch ${\mathfrak {p}}$ teilbaren rationalen Primzahl $p$.

Beweis: Es seien die $f$ ganzen Zahlen $\omega _{1}$, …, $\omega _{f}$ einer Basis des Körpers in dem Sinne voneinander unabhängig, daß^{[WS 2]} keine Kongruenz von der Gestalt

$a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{f}\omega _{f}\equiv 0,\quad ({\mathfrak {p}})$

besteht, wo $a_{1}$, …, $a_{f}$ ganze, nicht sämtlich durch $p$ teilbare Zahlen bedeuten, und es möge überdies jede der anderen $m-f$ Zahlen der Körperbasis einem

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1. Zwei neue Beweise für die Zerlegbarkeit der Zahlen eines Körpers in Primideale. Jber. Dtsch. Mathem.-Verein. 3 (1893).
2. Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale. Math. Ann. 44 (1894).
3. Zur Theorie der algebraischen Zahlen, Nachr. K. Ges. Wiss. Göttingen 1895.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Hurwitz, Adolf: Zur Theorie der algebraischen Zahlen, in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse, 1895, S. 324–331 GDZ Göttingen
2. Vorlage: das

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 79. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/96&oldid=- (Version vom 31.7.2018)