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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.3

wo $l_{11}$, …, $l_{mm}$ lineare Formen von $u_{1}$, …, $u_{m}$ mit ganzen rationalen Koeffizienten sind. Wir beweisen zunächst, daß die Determinante $|l_{rs}|$ der Formen $l_{11}$, …, $l_{mm}$ eine rationale Einheitsform ist. In der Tat, wären im Gegenteil die Koeffizienten der Determinante $|l_{rs}|$ sämtlich durch eine Primzahl $p$ teilbar, so müßten notwendig $m$ Formen $L_{1}$, …, $L_{m}$ existieren, deren Koeffizienten ganze rationale, nicht sämtlich durch $p$ teilbare Zahlen sind, und welche den Bedingungen

${\begin{aligned}L_{1}l_{11}+\cdots +L_{m}l_{m1}&\equiv 0,\qquad (p)\\\vdots \qquad \qquad \\L_{1}l_{1m}+\cdots +L_{m}l_{mm}&\equiv 0,\qquad (p)\end{aligned}}$

genügen. Hieraus würde

$(L_{1}\omega _{1}+\cdots +L_{m}\omega _{m})F\equiv 0,\qquad (p{\mathfrak {a}})$

folgen, d. h. das Produkt ${\mathfrak {la}}$ ist durch $p{\mathfrak {a}}$ teilbar, wobei ${\mathfrak {l}}$ den Inhalt der Form $L_{1}\omega _{1}+\cdots +L_{m}\omega _{m}$ bezeichnet. Mithin wäre ${\mathfrak {l}}$ durch $p$ teilbar, was nicht der Fall sein kann, da eine Zahl von der Gestalt $a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{m}\omega _{m}$, wo $a_{1}$, …, $a_{m}$ ganze rationale Zahlen bedeuten, nur dann durch $p$ teilbar ist, sobald die Koeffizienten $a_{1}$, …, $a_{m}$ sämtlich durch $p$ teilbar sind.

Nach dem Multiplikationstheorem der Determinanten ist

$\left|{\begin{matrix}\omega _{1},&F,&\ldots ,&\omega _{m}&F\\\omega '_{1},&F',&\ldots ,&\omega '_{m}&F'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&F^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}&F^{(m-1)}\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}l_{11},&\ldots ,&l_{1m}\\l_{21},&\ldots ,&l_{2m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\l_{m1},&\ldots ,&l_{mm}\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}\iota _{1},&\ldots ,&\iota _{m}\\\iota '_{1},&\ldots ,&\iota '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\iota _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\iota _{m}^{(m-1)}\\\end{matrix}}\right|$

und mithin folgt nach Weghebung des Faktors

$\left|{\begin{matrix}\omega _{1},&\ldots ,&\omega _{m}\\\omega '_{1},&\ldots ,&\omega '_{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(m-1)},&\ldots ,&\omega _{m}^{(m-1)}\\\end{matrix}}\right|$

die Beziehung $FF'\,\ldots F^{(m-1)}\simeq n({\mathfrak {a}})$ oder $n(F)=n({\mathfrak {a}})$. Der zweite Teil des Satzes folgt, wenn wir $F=\alpha (u_{1}\omega _{1}+\cdots +u_{m}\omega _{m})$ nehmen.

Wendet man auf die sämtlichen Zahlen $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, … des Ideals ${\mathfrak {a}}$ die Substitution $t'=(\vartheta :\vartheta ')$ an, so heißt das dann entstehende Ideal ${\mathfrak {a}}'=(t'\alpha _{1},\,t'\alpha _{2},\,\ldots )$ das durch $t'$ aus ${\mathfrak {a}}$ entspringende oder zu ${\mathfrak {a}}$ konjugierte Ideal. Betrachtet man den aus $k$, $k'$, …, $k^{(m-1)}$ zusammengesetzten Körper, so lehren die Sätze 18 und 20, daß das Produkt von ${\mathfrak {a}}$ und allen zu ${\mathfrak {a}}$ konjugierten Idealen eine ganze rationale Zahl, nämlich $n({\mathfrak {a}})$ ist^[1]. Aus diesem Umstande entspringt eine neue Definition der Norm des Ideals ${\mathfrak {a}}$, welche der Definition der Norm einer Zahl $\alpha$ genau entspricht und überdies einer wichtigen Verallgemeinerung fähig ist. Vgl. § 14.

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1. Siehe Seite 93 Zeile 3 von unten ff.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 81. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/98&oldid=- (Version vom 9.12.2022)