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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

die hier rechts angegebene Größe haben. Es gelten also allgemein die Relationen

(80)	$S_{h1}S_{1k}+S_{h2}S_{2k}+S_{h3}S_{3k}+S_{h4}S_{4k}=0$

bei ungleichen Indizes $h,\ k$ aus der Reihe 1, 2, 3, 4 und

(81)	$S_{h1}S_{1h}+S_{h2}S_{2h}+S_{h3}S_{3h}+S_{h4}S_{4h}=L^{2}-{\text{Det}}^{\frac {1}{2}}f{\text{Det}}^{\frac {1}{2}}F$

für $h$ = 1, 2, 3, 4.

Indem wir jetzt anstatt $F$ und $f$ in den Verbindungen (72), (73) mittelst (55), (56), (57) die elektrische Ruh-Kraft $\Phi$, die magnetische Ruh-Kraft $\Psi$, den Ruh-Strahl $\Omega$ einführen, gelangen wir zu den Ausdrücken:

(82)	$L=-{\tfrac {1}{2}}\varepsilon \Phi {\overline {\Phi }}+{\tfrac {1}{2}}\mu \Psi {\overline {\Psi }},$

(83)	$S_{hk}=-{\tfrac {1}{2}}\varepsilon \Phi {\overline {\Phi }}e_{hk}-{\tfrac {1}{2}}\mu \Psi {\overline {\Psi }}e_{hk}$

$+\varepsilon (\Phi _{h}\Phi _{k}-\Phi {\overline {\Phi }}w_{h}w_{k})+\mu (\Psi _{h}\Psi _{k}-\Psi {\overline {\Psi }}w_{h}w_{k})$

$-\Omega _{h}w_{k}-\varepsilon \mu w_{h}\Omega _{k}\qquad \qquad (h,k=1,2,3,4)$

darin sind noch einzusetzen

$\Phi {\overline {\Phi }}=\Phi _{1}^{2}+\Phi _{2}^{2}+\Phi _{3}^{2}+\Phi _{4}^{2},\quad \Psi {\overline {\Psi }}=\Psi _{1}^{2}+\Psi _{2}^{2}+\Psi _{3}^{2}+\Psi _{4}^{2},$ $e_{hh}=1,\quad e_{hk}=0(h\gtrless k).$

Nämlich jedenfalls ist die rechte Seite von (82) ebenso wie $L$ eine Invariante bei den Lorentz-Transformationen und stellen die $4\times 4$ Elemente rechts in (83) ebenso wie die $S_{hk}$ eine Raum-Zeit-Matrix II. Art dar. Mit Rücksicht hierauf genügt es schon, um die Relationen (82), (83) allgemein behaupten zu können, sie nur für den Fall $w_{1}=0,\ w_{2}=0,\ w_{3}=0,\ w_{4}=i$ zu verifizieren. Für diesen Fall ${\mathfrak {w}}=0$ aber kommen (83) und (82) durch (47), (51), (60) einerseits, ${\mathfrak {e}}=\varepsilon {\mathfrak {E}},\ {\mathfrak {M}}=\mu {\mathfrak {m}}$ andererseits unmittelbar auf die Gleichungen (75) und (76) hinaus.

Der Ausdruck rechts in (81), der

$=\left({\tfrac {1}{2}}({\mathfrak {mM}}-{\mathfrak {eE}})\right)^{2}+({\mathfrak {em}})({\mathfrak {EM}})$

ist, erweist sich durch $({\mathfrak {em}})=\varepsilon \Phi {\overline {\Psi }},\ ({\mathfrak {EM}})=\mu \Phi {\overline {\Psi }}$ als $\geqq 0$; die Quadratwurzel aus ihm, $\geqq 0$ genommen, mag im Hinblick auf (79) mit ${\text{Det}}^{\frac {1}{4}}S$ bezeichnet werden.

Für ${\overline {S}}$, die transponierte Matrix von $S$, folgt aus (78), da ${\overline {f}}=-f,\ {\overline {F}}=-F$ ist,

(84)	$Ff={\overline {S}}-L,\quad f^{*}F^{*}=-{\overline {S}}-L.$

Sodann ist

Empfohlene Zitierweise:
Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 94. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/42&oldid=- (Version vom 1.8.2018)