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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

folglich für am Rande verschwindendes $\delta u,\ \delta {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots :$

$\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}(u,\dots )\delta u_{i}\right)dx=\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}(v,\dots )\delta v_{i}\right)dy$

$=\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}(v,\dots )\delta v_{i}\right)\left|{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{\varkappa }}}\right|dx.$

Drückt man im dritten Integral $y,v,\delta v$ durch $x,u,\delta u$ aus, und setzt es dem ersten gleich, so hat man also eine Relation

$\int \dots \int \left(\sum \chi _{i}(u,\dots )\delta u_{i}\right)dx=0$

für am Rande verschwindendes, sonst willkürliches $\delta u$, und hieraus folgt bekanntlich das Verschwinden des Integranden für beliebiges $\delta u$; es gilt also identisch in $\delta u$ die Relation:

$\sum \psi _{i}(u,\dots )\delta u_{i}=\left|{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{\varkappa }}}\right|\left(\sum \psi _{i}(v,\dots )\delta v_{i}\right),$

die die relative Invarianz von $\sum \psi _{i}\delta u_{i}$ und folglich die Invarianz von $\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}\delta u_{i}\right)dx$ aussagt^[1].

Um dies auf die abgeleiteten Divergenzrelationen und Abhängigkeiten anzuwenden, ist zuerst nachzuweisen, daß das aus den $\Delta u,\Delta x$ abgeleitete ${\bar {\delta }}u$ tatsächlich den Transformationsgesetzen für die Variation $\delta u$ genügt, sobald nur die Parameter, bezw. willkürlichen Funktionen in ${\bar {\delta }}v$ so bestimmt werden, wie sie der ähnlichen Gruppe der infinitesimalen Transformationen in $y,v$ entsprechen. Bezeichnet ${\mathfrak {T}}_{q}$ die Transformation, die $x,u$ überführt in $y,v$; ${\mathfrak {T}}_{p}$ eine infinitesimale in $x,u,$ so ist die dazu ähnliche in $y,v$ gegeben durch ${\mathfrak {T}}={\mathfrak {T}}_{q}{\mathfrak {T}}_{p}{\mathfrak {T}}_{q}^{-1}$, wo also die Parameter, bezw. willkürlichen

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1. Diese Schlüsse versagen, wenn $y$ auch von den $u$ abhängt, da dann $\delta f\left(y,v,{\tfrac {\partial v}{\partial y}},\dots \right)$ auch Glieder $\sum {\frac {\partial f}{\partial y}}\delta y$ enthält, die Divergenzumformung also nicht auf die Lagrangeschen Ausdrücke führt, ebenso wenn man Ableitungen der $u$ zuläßt; dann werden nämlich die $\delta v$ lineare Kombinationen von $\delta u,\delta {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots ,$ führen also erst nach einer weiteren Divergenzumformung auf eine Identität $\int \dots \int \left(\sum \chi _{i}(u,\dots )\delta u\right)dx=0$, sodaß rechts wieder nicht die Lagrangeschen Ausdrücke auftreten.
   Die Frage, ob aus der Invarianz von $\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}\delta u_{i}\right)dx$ auch schon auf das Bestehen von Divergenzrelationen geschlossen werden kann, ist nach der Umkehrung gleichbedeutend damit, ob daraus auf die Invarianz von $I$ geschlossen werden kann gegenüber einer Gruppe, die nicht notwendig auf dieselben $\Delta u,\Delta x,$ wohl aber auf dieselben ${\bar {\delta }}u$ führt. Im Spezialfall des einfachen Integrals und nur erster Ableitungen in $f$ kann man bei der endlichen Gruppe aus der Invarianz der Lagrangeschen Ausdrücke auf die Existenz erster Integrale schließen (vergl. z. B. Engel, Gött. Nachr. 1916, S. 270).

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 251. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/17&oldid=- (Version vom 1.8.2018)