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	Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe

Riemannsche Geometrie durch die Euklidische Geometrie hindurch in die Geometrie von Bolyai, Lobatschewsky, Gauß verwandeln. Des näheren stellt sich die Sache so, daß ich um den Punkt $u_{3}=0$ herum ein Gebiet beliebiger Ausdehnung abgrenzen kann (so groß, wenn es Vergnügen macht, daß es unser ganzes Sonnensystem oder auch die gesamte Fixsternwelt umschließt) und dann das $\varepsilon$, positiv oder negativ, so klein annehmen kann, daß innerhalb dieses Gebietes irgendwelche Abstände, Nicht-Euklidisch gemessen, von ihren Euklidischen Beträgen um weniger abweichen, als eine noch so kleine vorgegebene Größe beträgt. —

Man möge gestatten, daß ich mit diesen Einzelbetrachtungen über die projektive Maßbestimmung in der Ebene noch ein weniges weiter fortfahre; es geschieht dies natürlich, um gewisse Überlegungen, die ich beim Vergleich der neuen und der klassischen Mechanik späterhin gebrauche, zweckmäßig vorzubereiten. Ich wende das obengenannte Kontinuitätsprinzip nunmehr auf die Fälle 3), 4) und 5) unserer Tabelle von S. 540 an. Das fundamentale Gebilde sei, bezogen auf ein gewöhnliches rechtwinkliges Koordinatensystem:

(10)	$u_{1}^{2}+\varepsilon u_{2}^{2}=0$

und hier gebe ich $\varepsilon$ das eine Mal einen sehr kleinen positiven, das andere Mal einen sehr kleinen negativen Wert, das dritte Mal den Wert Null. Mit $x,y$ seien die zugehörigen (gewöhnlichen, nicht homogenen) Koordinaten eines Punktes bezeichnet. Als Entfernung dieses Funkes vom Koordinatenanfangspunkte erhält man dann durch sinngemäße Abänderung der Formel (3):

(11)	$r={\sqrt {\varepsilon x^{2}+y^{2}}}$,

und hier wolle man nun überlegen, wie das System der um $O$ als Zentrum herumgelegten Kreise (d. h. der Kurven $r={Konst.}$) gestaltet ist. Offenbar bekommen wir bei positivem $\varepsilon$ langgestreckte Ellipsen (deren große Achse in die Richtung der $X$-Achse fällt), bei negativem $\varepsilon$ Hyperbeln, deren Asymptoten ${\frac {y}{x}}=\pm {\sqrt {-\varepsilon }}$ einen sehr kleinen Winkel mit der $X$-Achse machen, bei verschwindendem Paare gerader Linien $y=\pm {\sqrt {konst.}}$, die parallel zur $X$-Achse verlaufen. Es ist amüsant, sich zu überlegen, wieso diese Parallellinienpaare Übergangsformen zwischen den Ellipsen und Hyperbeln der Fälle mit positivem bzw. negativem $\varepsilon$ sind!

Wir mögen ferner die zu unserer Maßbestimmung gehörigen äquiformen und kongruenten Transformationen zunächst in den Fällen mit nicht verschwindendem $\varepsilon$ betrachten. Da die beiden durch (10) dargestellten Punkte für $\varepsilon \lessgtr 0$ voneinander verschieden sind, bestimmen sie ihre Verbindungslinie, die unendlich, ferne Gerade, eindeutig. Unsere Transformationen

Empfohlene Zitierweise:
Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 543. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/11&oldid=- (Version vom 1.8.2018)