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	Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe

werden also affine Transformationen sein und können in der Form angesetzt werden:

(12)	${\begin{cases}x'=\alpha _{11}x+\alpha _{12}y+\alpha _{13}\\y'=\alpha _{21}x+\alpha _{22}y+\alpha _{23}.\end{cases}}$

Hier sind die Koeffizienten rechter Hand im äquiformen Falle so zu bemessen, daß $\varepsilon \left(\alpha _{11}x+\alpha _{12}y\right)^{2}+\left(\alpha _{21}x+\alpha _{22}y\right)^{2}$ bis auf einen willkürlich bleibenden Faktor mit $\varepsilon x^{2}+y^{2}$ übereinstimmt. Dies gibt für die Koeffizienten $\alpha _{ik}$ zwei Bedingungen, deren Zahl auf drei steigt, wenn wir, zu den kongruenten Transformationen gehend, die Determinante $\left|{\begin{array}{cc}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{array}}\right|$ gleich $\pm \ 1$ setzen. Wir haben hiernach $\infty ^{4}$ äquiforme und $\infty ^{3}$ kongruente Transformationen, in genauer Übereinstimmung selbstverständlich mit dem, was wir im Falle $\varepsilon =1$ von der Euklidischen Metrik her wissen.

Wir wenden uns nun zum doppelt spezialisierten Falle $\varepsilon =0$, indem wir als Bedingung festhalten wollen, daß auch hier nur affine Transformationen (12) in Betracht gezogen werden sollen ( — dies ist hier eine freie Verabredung, weil die unendlich ferne Gerade nur eine von den geraden Linien ist, die den Punkt $u_{1}^{2}=0$, d. h. den unendlich fernen Punkt der $X$-Achse, enthalten, von Hause aus also keine Notwendigkeit vorliegt, daß sie bei den von uns zu betrachtenden Transformationen in sich übergeht — ). Wir erhalten dann für die äquiformen Transformationen einfach $\alpha _{21}=0$; jede Transformation

(13)	$\left\{{\begin{array}{lr}x'=&\alpha _{11}x+\alpha _{12}y+\alpha _{13}\\y'=&\alpha _{22}y+\alpha _{23}\end{array}}\right.$

wird als äquiform anzusprechen sein. Die äquiforme Gruppe enthält trotz unserer einschränkenden Verabredung hier noch fünf Parameter. Als „Bewegungen“, d. h. kongruente Transformationen ohne Umlegung möge man dann unter den (13) diejenigen bezeichnen, welche erstlich unimodular sind, zweitens die Entfernung zweier Punkte $x,y$ und ${\overline {x}},{\overline {y}}$. d. h. im vorliegenden Falle $(y-{\overline {y}})$ unverändert lassen. Dies gibt $\alpha _{11}=1,\alpha _{22}=1$, und die dreigliedrige Bewegungsgruppe ist durch die Formeln gegeben:

(14)	$\left\{{\begin{array}{lr}x'=&x+\alpha _{12}y+\alpha _{13}\\y'=&y+\alpha _{23}\end{array}}\right.$

Die äquiformen Transformationen enthalten sonach zwei Parameter mehr als die kongruenten. Wir werden sagen, daß wir jetzt die Einheiten für den Maßstab auf der $X$-Achse und der $Y$-Achse unabhängig wählen können. Insbesondere werden wir in $y-{\overline {y}}$ bei beliebig gegebenen zwei Punkten eine Bewegungsinvariante haben; ist aber insbesondere $y-{\overline {y}}=0$, so ist auch $x-{\overline {x}}$ eine Bewegungsinvariante.

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Empfohlene Zitierweise:
Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 544. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/12&oldid=- (Version vom 1.8.2018)