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	Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe

Es gilt jetzt, alle diese gewiß sehr einfachen Ansätze auf größere Variabelenzahlen zu übertragen. Oder vielmehr, wir wollen gleich zu vier Variabelen $x,y,z,t$ übergehen (wobei wir den Inbegriff aller Wertsysteme dieser Variabelen mit Minkowski als Welt, $x,y,z$ als Raumkoordinaten, $t$ als Zeit bezeichnen). Wir verzichten darauf, die zugehörigen möglichen Arten der projektiven Maßbestimmung systematisch aufzuzählen, so einfach dies schließlich sein würde. Vielmehr beschränken wir uns darauf zu zeigen, daß hier, in der vierdimensionalen Welt, das System der Mechanik sich unter den Begriff der projektiven Maßbestimmung einordnet, und zwar sowohl das System der klassischen Mechanik, wie das der neuen Mechanik von Lorentz, Poincaré, Einstein und Minkowski, womit das Wesen dieser beiden Systeme, wie insbesondere ihre gegenseitige Stellung zur vollsten Klarheit gebracht sein dürfte.

Wolle man vorab vorübergehend $x={\frac {x_{1}}{x_{5}}},\ y={\frac {x_{2}}{x_{5}}},\ z={\frac {x_{3}}{x_{5}}},\ t={\frac {x_{4}}{x_{5}}}$ setzen. Die allgemeine lineare Gleichung zwischen $x,y,z,t$ werde dementsprechend so geschrieben: $u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}+u_{3}x_{3}+u_{4}x_{4}+u_{5}x_{5}=0$; speziell ist $x_{5}=0$ dasjenige, was wir das „unendlich Ferne“ der Welt nennen wollen. Unser alter Bekannter, der Kugelkreis, erhält wie früher die Gleichung:

(15)	$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=0$;

er ist jetzt aber, da wir fünf homogene Koordinaten haben, als zweifach spezialisiertes Gebilde zu bezeichnen. Neben ihn stellen wir als einfach spezialisiertes Gebilde:

(16)	$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}-{\frac {u_{4}^{2}}{c^{2}}}=0$,

wo $c$ die „Lichtgeschwindigkeit“ bezeichnen soll, ${\frac {1}{c^{2}}}$ also (bei Zugrundelegung der Einheiten, deren man sich in der Mechanik allgemein zu bedienen pflegt) eine sehr kleine Größe ist. In Punktkoordinaten ist dieses Gebilde durch das Gleichungspaar gegeben:

(17)	$x_{5}=0,\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-c^{2}x_{4}^{2}=0$,

bestimmt also eindeutig das „unendlich Ferne“ der Welt. Läßt man hier, im zum Kugelkreise zu gelangen, <math<c</math> unendlich werden, so wird man für diesen drei Gleichungen in Punktkoordinaten erhalten:

(18)	$x_{5}=0,\ x_{4}=0,\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$.

Wir haben hier ${\frac {x_{4}}{x_{5}}}=t={\frac {0}{0}}$; der Kugelkreis ist, könnte man sagen, zeitlos zu denken. Das unendlich Ferne der Welt ist nur eine der linearen Mannigfaltigkeiten, welche den Kugelkreis enthalten, es erscheint erst dann vor anderen linearen Mannigfaltigkeiten derselben Art bevorzugt, wenn

Empfohlene Zitierweise:
Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 545. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/13&oldid=- (Version vom 1.8.2018)