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	Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe

wir den Kugelkreis aus (16), bzw. (17) durch Grenzübergang entstehen lassen. — Auf diese Gebilde (16, 17), bzw. (15, 18) wollen wir nun alle Betrachtungen, die wir vorhin an die Gleichung (10), d. h. $u_{1}^{2}+\varepsilon u_{2}^{2}$ knüpften, sinngemäß übertragen.

Ich will gleich mit dem Kugelkreis beginnen, indem ich das Prinzip herübernehme, daß wir entsprechend der begrifflichen Auszeichnung der linearen Mannigfaltigkeit $x_{5}=0$ die zugehörigen äquiformen und kongruenten Transformationen der Welt nur unter den affinen Welttransformationen suchen sollen. Es hat dementsprechend jetzt keinen Zweck mehr, die homogene Schreibweise festzuhalten; vielmehr werden wir das allgemeine Schema der in Betracht kommenden Transformationen entsprechend den Gleichungen (13) gleich in folgender Gestalt anschreiben:

(19)	${\begin{cases}x'=\alpha _{11}x+\alpha _{12}y+\alpha _{13}z+&\alpha _{14}t+\alpha _{15}\\y'=\alpha _{21}x+\alpha _{22}y+\alpha _{23}z+&\alpha _{24}t+\alpha _{25}\\z'=\alpha _{31}x+\alpha _{32}y+\alpha _{33}z+&\alpha _{34}t+\alpha _{35}\\t'=&\alpha _{44}t+\alpha _{55}.\end{cases}}$

Äquiform werden wir diese Transformationen nennen, wenn sie das Gleichungssystem (18) in sich überführen. Hierfür ergibt sich als einzige Bedingung, daß die Matrix

(20)	$\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{31}&\alpha _{32}&\alpha _{33}\end{array}}\right|$

orthogonal sei. Dies liefert für die neun Koeffizienten $\alpha _{11},\dots ,\alpha _{33}$ bekannter Weise fünf Gleichungen; im ganzen bleiben von den 17 in (19) auftretenden Koeffizienten also 12 willkürlich. — Unter den so bestimmten äquiformen Transformationen werden wir dann gemäß (14) diejenige als kongruente Transformationen bezeichnen, für die die Determinante der Matrix (20) gleich $\pm \ 1$ und überdies $\alpha _{44}=1$ ist. Die Gruppe der so Bestimmten kongruenten Transformationen enthält noch zehn Parameter. Sind $x,y,z,t$ und ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}},{\overline {t}}$ die Koordinaten zweier Weltpunkte, so bleibt bei der Gruppe der kongruenten Transformationen allgemein zu reden nur die Differenz $t-{\overline {t}}$ unverändert; nur wenn $t-{\overline {t}}$ insbesondere gleich Null ist, so ist auch $(x-{\overline {x}})^{2}+(y-{\overline {y}})^{2}+(z-{\overline {z}})^{2}$ eine Invariante. Zwei Weltpunkte haben also nur dann eine „rein geometrische“ Invariante, wenn ihre Indifferenz verschwindet.

Das wir mit diesen Angaben über die zum Kugelkreis gehörigen äquiformen und kongruenten Welttransformationen in der Tat die Grundlagen der klassischen Mechanik treffen, bedarf nach dem, was neuerdings von anderen Autoren vielfach hervorgehoben ist, kaum der Ausführung.

Empfohlene Zitierweise:
Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 546. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/14&oldid=- (Version vom 1.8.2018)