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	Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe

Die Grundgleichungen der klassischen Mechanik bleiben in der Tat ungeändert, wenn wir

1. das beliebig gewählte rechtwinklige Raumkoordinatensystem $x,y,z$ durch irgendein anderes gleichorientiertes ersetzen,

2. dem rechtwinkligen System irgendeine gleichförmige Translation erteilt denken,

3. den Anfangspunkt, von dem aus wir die Zeit $t$ zählen, beliebig ändern.

Genau dieses findet in der Gruppe unserer kongruenten Transformationen seinen Ausdruck. Speziell den gleichförmigen Translationen 2 entsprechen in unseren Formeln die Glieder mit $\alpha _{14}t,\alpha _{24}t,\alpha _{34}t$. Dem Umstande aber, daß unsere äquiformen Transformationen zwei Parameter mehr enthalten, als die kongruenten, korrespondiert die Tatsache, daß in der klassischen Mechanik die Zeiteinheit und die Längeneinheit unabhängig voneinander willkürlich gewählt werden können (worauf sich die Lehre von der „Ähnlichkeit“ in der klassischen Mechanik stützt). —

Wir betrachten zweitens den Fall des nur einfach spezialisierten Grundgebildes (17) (das noch keinen besonderen Namen trägt, aber gewiß einen solchen verdiente):

$x_{5}=0,\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-c^{2}x_{4}^{2}=0$.

Die äquiformen Transformationen sind hier notwendig affin, um so mehr gehen wir wieder zur nicht-homogenen Schreibweise zurück. Das allgemeine Schema einer affinen Transformation ist dann:

(21)	${\begin{cases}x'=\alpha _{11}x+\alpha _{12}y+\alpha _{13}z+\alpha _{14}t&+\alpha _{15}\\y'=\alpha _{21}x+&+\alpha _{25}\\z'=\alpha _{31}x+&+\alpha _{35}\\t'=\alpha _{41}x+&+\alpha _{45}.\end{cases}}$

Wir haben eine äquiforme Transformation, sobald die durch die Matrix

$\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{11}&\ldots &\alpha _{14}\\\cdot &\cdots &\cdot \\\cdot &\cdots &\cdot \\\alpha _{41}&\ldots &\alpha _{44}\end{array}}\right|$

gegebene homogene Substitution der $x,y,z,t$ die quadratische Form $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$ in ein Multiplum ihrer selbst überführt. Dies legt den 20 Koeffizienten $\alpha _{ik}$ neun Bedingungen auf; die Gruppe der äquiformen Transformationen enihält also jetzt elf Parameter. Aus ihr entsteht die Gruppe der kongruenten Transformationen (wie wir sie seither definierten), indem wir verlangen, daß die Determinante

$\left|{\begin{array}{ccc}\alpha _{11}&\ldots &\alpha _{14}\\\cdot &\cdots &\cdot \\\cdot &\cdots &\cdot \\\alpha _{41}&\ldots &\alpha _{44}\end{array}}\right|$

Empfohlene Zitierweise:
Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 547. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/15&oldid=- (Version vom 1.8.2018)