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	Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe

einen der Werte $\pm \ 1$ haben soll. Wir haben so eine Gruppe von zehn Parametern. Sind $x,y,z,t$ und ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}},{\overline {t}}$, die Koordinaten irgend zweier Weltpunkte, so erweist sich ihr gegenüber das Quadrat der Quasientfernung:

$(x-{\overline {x}})^{2}+(y-{\overline {y}})^{2}+(z-{\overline {z}})^{2}-c^{2}(t-{\overline {t}})^{2}$

als unveränderlich.

Wir haben nun noch einen feineren Punkt herauszuarbeiten, der schon oben, bei den Erörterungen über das Punktepaar $u_{1}^{2}+\varepsilon u_{2}^{2}=0$ als Fundamentalgebilde einer ebenen Maßbestimmung, hätte herangebracht werden können. Um aus der Gesamtheit der äquiformen Transformationen die kongruenten ohne Umlegung herauszuheben, kann man sich darauf beschränken, in den Substitutionen (12) die Determinante $\left|{\begin{array}{cc}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{array}}\right|=1$ zu setzen. So macht man es ja in der Tat bei Euklidischer Maßbestimmung, wo als Fundamentalgebilde ein imaginäres Punktepaar zugrunde liegt. Aber dies führt doch nur für den Fall des imaginären Punktepaars (für den Fall eines positiven $\varepsilon$) zu den Bewegungen. Ist das Punktepaar reell ($\varepsilon$ negativ), so ergibt die nähere geometrische Überlegung, daß die unimodularen äquiformen Transformationen für sich kein Kontinuum mehr bilden, wie man dies doch billigerweise von dem Inbegriff der Bewegungen verlangen sollte. Ihre Gesamtheit zerfällt vielmehr in vier Kontinua. Nur diejenigen Transformationen, welche das Vorzeichen des Differentialausdrucks $\varepsilon dx^{2}+dy^{2}$ ungeändert lassen und überdies positives $\alpha _{22}$ aufweisen, werden im engeren Sinne als Bewegungen zu bezeichnen sein, weil sie allein sich an die „identische“ Transformation $x'=x,y'=y$ kontinuierlich anschließen. Der früher gegebenen Definition der kongruenten Transformationen sind also, um Bewegungen auszusondern, bei negativem $\varepsilon$ die beiden genannten Forderungen noch ausdrücklich zuzusetzen. Auf die damals gegebene Abzählung der Parameter hat dies keinen Einfluß. Auch haben wir im Grenzfalle $\varepsilon =0$, indem wir $\alpha _{22}=1$ setzten, bereits der neuen Verabredung entsprechend gehandelt. — Etwas Ähnliches ist es nun auch mit dem jetzt zu behandelnden Falle des Gebildes (17) (das wegen des negativen Vorzeichens, mit dem der Term $c^{2}x_{4}^{2}$ in seine Gleichung eingeht, bis zu einem gewissen Grade dem Falle des reellen Punktepaares der Ebene zu vergleichen ist). Jetzt zeigt die genauere geometrische Überlegung, — die nicht etwa schwer ist, die aber mehr Platz beanspruchen würde, als wir ihr hier geben können —, daß die Gruppe der kongruenten Transformationen, wie wir sie zunächst definierten, noch zwei Kontinua umfaßt, und daß wir als Gruppe der Bewegungen von diesen beiden Kontinuen nur dasjenige brauchen können, welches durch positives $\alpha _{44}$ charakterisiert ist.

Mögen wir die Forderung eines positiven $\alpha _{44}$ also der Definition

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Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 548. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/16&oldid=- (Version vom 1.8.2018)