Seite:Lorentzgruppe (Klein).djvu/4

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einem der Kreispunkte auf gerader Linie liegen, der Nenner, wenn einer der gegebenen Punkte auf der Verbindungslinie der beiden Kreispunkte liegt. Beides sind projektive Eigenschaften der von den gegebenen zwei Punkten und den Kreispunkten gebildeten Gesamtfigur! Algebraisch aber folgt hieraus (wie ich unmöglich näher ausführen kann), daß der Ausdruck sich nur um einen konstanten Faktor ändert, wenn man unsere vier Punkte gleichzeitig einer beliebigen Kollineation unterwirft. Deshalb nennt man eine Invariante unserer vier Punkte gegenüber der Gesamtheit aller Kollineationen, oder auch eine „simultane Invariante" der zwei zunächst gegebenen Punkte und der in (1) bzw. (2) linker Hand stehenden algebraischen Formen. Der Inhalt der projektiven Geometrie der Ebene ist aber, algebraisch zu reden, nichts anderes, als die Lehre von den Invarianten, welche irgendwelche ebene Figuren gegenüber der Gesamtheit der ebenen Kollineationen besitzen, insbesondere auch von den Relationen, welche solche Invarianten untereinander aufweisen mögen; es ordnen sich also alle Sätze, die zwischen den Entfernungen irgendwelcher Punkte der Ebene bestehen mögen, in die projektive Geometrie ein. —

Im Räume ist die Sache nur durch die vermehrte Zahl der Koordinaten komplizierter. Seien gewöhnliche rechtwinklige Koordinaten, so setzen wir, homogen machend, . Der „Kugelkreis" ist dann in Punktkoordinaten durch das Gleichungspaar

(4)

gegeben, in zugehörigen Ebenenkoordinaten aber durch die eine Gleichung:

(5) .

Man betrachte wieder den Ausdruck für die Entfernung zweier Punkte. Indem wir letzteren die homogenen Koordinaten und erteilen, erhalten wir

(6)

und knüpfen an diese Formel Erörterungen, die den soeben an (3) geschlossenen ganz ähnlich sind. —

Die vorstehenden Andeutungen werden genügen, um den Sinn von Cayleys grundlegender Arbeit einigermaßen verständlich zu machen. Ich darf nun einen Augenblick von den Überlegungen reden, die ich in meinem Erlanger Antrittsprogramm 1872 entwickelt habe.[1] Bei Cayley ist


  1. „Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen", abgedruckt in Bd. 43 der Math. Annalen und anderswo. [S. Abh. XXVII dieser Ausgabe.]
Empfohlene Zitierweise:

Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 536. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/4&oldid=2603863 (Version vom 3.5.2016)