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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

§. 59. Lehnsatz. Wenn drei gerade Linien, von denen zwei einander parallel und der Lage nach gegeben sind, einen beliebigen Kegelschnitt berühren; so ist der, diesen beiden Tangenten parallele Halbmesser des Schnittes die mittlere Proportionale zwischen den Stücken jener, welche zwischen den Berührungspunkten und der dritten Tangente liegen.

Es seien AF und BG die beiden parallelen Tangenten, in den Punkten A und B des Kegelschnittes ADBM, EF eine dritte gerade Linie, welche die Curve in J berührt und die beiden Tangenten in F und G schneidet, endlich CD der diesen parallele Halbmesser; alsdann wird behauptet, dass

AF : CD = CD : BG

Treffen die conjugirten Durchmesser AB und DM die Tangente FG in E und H, und einander in C und vollendet man das Pallelogramm JKCL; so ist nach der Lehre von den Kegelschnitten

1. CA : LC = EC : CA.^[1]

Hieraus folgt

EC — CA : CA — LC = EC : CA.

d. h.

2. EA : AL = EC : CA.

Ferner

EA : EA + AL = EC : EC + CA

d. h.

3. EA : EL = EC : EB.

Da nun

Δ EAF ∼ ELJ ∼ ECH ∼ EBG 4. AF : Jh = CH : BG (mittelst 3.)

ferner nach der Lehre von den Kegelschnitten, wie oben

5. CK : CD = CD : CH

und durch Verbindung von 4. und 5., weil CK = JL,

AF : CD = CD : BG. W. a. b. w.

Zusatz 1. Wenn die beiden Tangenten FG und PQ den parallelen Tangenten AT und BG respective in F und G, so wie in P und Q begegnen, sich selbst aber in O schneiden; so ist

AF : CD = CD : BG

und eben so

BQ : CD = CD : PA

mithin

6. AF : BQ = PA : BG

↑ [583] No. 30. S. 106. Es ist nämlich, wenn man AC = a, CD = b, AL = x, JL = y setzt (Fig. 58). $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2ax-x^{2}\right)$ , und $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {a-x}{y}}$ . [584] Ferner EL = Subtg. = $\scriptstyle y:{\frac {dy}{dx}}={\frac {y^{2}}{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(a-x)}}={\frac {2ax-x^{2}}{a-x}}$ . $\scriptstyle EL+LC=EC={\frac {2ax-x^{2}}{a-x}}+a-x={\frac {a^{2}}{a-x}}$ , und $\scriptstyle {\frac {EC}{AC}}={\frac {a}{a-x}}={\frac {AC}{CL}}$ oder CA : CL = EC : CA.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 106. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/114&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [583] No. 30. S. 106. Es ist nämlich, wenn man AC = a, CD = b, AL = x, JL = y setzt (Fig. 58). $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(2ax-x^{2}\right)$ , und $\scriptstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {a-x}{y}}$ . [584] Ferner EL = Subtg. = $\scriptstyle y:{\frac {dy}{dx}}={\frac {y^{2}}{{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(a-x)}}={\frac {2ax-x^{2}}{a-x}}$ . $\scriptstyle EL+LC=EC={\frac {2ax-x^{2}}{a-x}}+a-x={\frac {a^{2}}{a-x}}$ , und $\scriptstyle {\frac {EC}{AC}}={\frac {a}{a-x}}={\frac {AC}{CL}}$ oder CA : CL = EC : CA.

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