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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Ferner ist nach der Lehre von den Kegelschnitten

4. CO : BO = BO : TO,^[1]

woraus

BO + CO : BO = BO + TO : TO

oder

5. BC : BO = BT : TO

und

6. CO : BO = BC : BT

hervorgeht. Aus 6. schliessen wir auf

BC — CO : BO = BT — BC : BT

oder

AC : AO = CT : BT = CP : BQ;

mithin

7.

\scriptstyle CP={\frac {AC\cdot BQ}{AO}}

und

\scriptstyle {\sqrt {\frac {CP^{2}\cdot AO\cdot SP}{AC\cdot CB}}}={\sqrt {\frac {AC^{2}\cdot BQ^{2}}{AO^{2}}}}\cdot {\frac {AO\cdot SP}{AC\cdot CB}}={\sqrt {\frac {BQ^{2}\cdot AC\cdot SP}{AO\cdot BC}}}

Das Verhältniss 3. wird daher jetzt

8.

\scriptstyle {\sqrt {\frac {BQ^{2}\cdot AC\cdot SP}{AO\cdot BC}}}:SY

Vermindert man jetzt die Breite CP der Figur RPB bis ins Unendliche, so dass endlich der Punkt P mit C zusammenfällt, so wird gleichzeitig

S mit B SP „ BC SY „ BQ

zusammenfallen, und in diesem Falle, wo der Körper auf der Linie CB herabsteigt, wird obiges Verhältniss 8., indem man

SP gegen BC

und

\scriptstyle {\sqrt {BQ^{2}}}

„ SY

aufhebt, übergehen in

9.

\scriptstyle {\sqrt {AC}}:{\sqrt {AO}}={\sqrt {AC}}

;

\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}AB}}

. W. z. b. w.

Zusatz 1. Fallen die Punkte B und S zusammen, so hat man

TC : ST = AC : AO.

Zusatz 2. Ein Körper, welcher sich in irgend einer Entfernung vom Centrum im Kreise herumbewegt, steigt bei seiner aufwärts gerichteten Bewegung zum doppelten Abstande vom Mittelpunkte auf.

§. 74. Lehrsatz. Ist BfP eine Parabel, so behaupte ich, dass die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers in irgend einem Punkte C gleich ist derjenigen Geschwindigkeit, mit welcher der Körper einen Kreis zum Mittelpunkt B und Halbmesser ½BC gleichförmig beschreiben kann.

Die Geschwindigkeit eines Körpers, welcher die Parabel RPB um den Brennpunkt S als Centrum beschreibt, ist in einem beliebigen Punkte P, nach §. 36., Zusatz 7. gleich der Geschwindigkeit eines Körpers, welcher um S einen Kreis vom Durchmesser SP gleichförmig beschreibt. Vermindert man nun die Breite CP der Parabel bis ins Unendliche, so dass der parabolische

↑ [585] No. 38. S. 129. Fig. 77. TC als Subtangente ist $\scriptstyle ={\frac {y}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}}=-{\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}x}}$ , wobei BO = AO = a, b die halbe kleine Axe, CP = y, OC = x und die Gleichung der Ellipse $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$ ist. Demnach wird TO = TC + CO = $\scriptstyle -{\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}x}}$ — x = $\scriptstyle -{\frac {a^{2}}{x}}={\frac {BO^{2}}{CO}}$ und CO : BO = BO : TO wie Gl. 4 im Texte.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 129. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/137&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [585] No. 38. S. 129. Fig. 77. TC als Subtangente ist $\scriptstyle ={\frac {y}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}}=-{\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}x}}$ , wobei BO = AO = a, b die halbe kleine Axe, CP = y, OC = x und die Gleichung der Ellipse $\scriptstyle y^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}\left(a^{2}-x^{2}\right)$ ist. Demnach wird TO = TC + CO = $\scriptstyle -{\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}x}}$ — x = $\scriptstyle -{\frac {a^{2}}{x}}={\frac {BO^{2}}{CO}}$ und CO : BO = BO : TO wie Gl. 4 im Texte.

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