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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Setzt man also voraus, dass die Dichtigkeit des Mittels in den einzelnen Punkten G sich umgekehrt wie der Abstand XY, und der Widerstand in G sich zur Schwere, wie 3 XY : 2 YG verhalte; so wird der vom Orte A mit der richtigen Geschwindigkeit ausgehende Körper jene Hyperbel AGK beschreiben.

Beispiel 4. Man setze unbestimmt voraus, dass die Linie AGK eine Hyperbel sei, welche zum Mittelpunkte X und den Asymptoten MX und NX, und zwar so construirt ist, dass nach der Construction des Rechtecks XZDN, dessen Seite ZD die Hyperbel in G und die Asymptote in V schneidet, VG proportional werde

$\scriptstyle {\frac {1}{XZ^{n}}}={\frac {1}{DN^{n}}}$.

Man sucht die Dichtigkeit des Mittels, vermöge dessen das Projectil auf dieser Curve fortschreite. Man setze

BN = A, BD = ξ, NX = C,

es sei ferner

VZ : ZX = VZ : DN = d : e VG = $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{DN^{n}}}$;

alsdann wird

DN = A — ξ, VG = $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{(A-\xi )^{n}}}$, VZ = $\scriptstyle {\frac {d}{e}}$ (A — ξ),

endlich

GD = NX — VZ — VG = C — $\scriptstyle {\frac {d}{e}}$ (A — ξ) — $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{(A-\xi )^{n}}}$ $\scriptstyle GD=C-{\frac {d}{e}}A-{\frac {b^{2}}{A^{n}}}+{\frac {d}{e}}\xi -{\frac {nb^{2}}{A^{n+1}}}\xi -{\frac {n^{2}+n}{2A^{n+2}}}b^{2}\xi ^{2}-{\frac {n^{3}+3n^{2}+2n}{bA^{n+3}}}b^{2}\xi ^{3}\dots$

In Bezug auf diese Reihe ist (nach 9., GD statt DJ)

$\scriptstyle Q={\frac {d}{e}}-{\frac {nb^{2}}{A^{n+1}}}$ $\scriptstyle R={\frac {n^{2}+n}{2A^{n+2}}}b^{2}$ $\scriptstyle S={\frac {n^{3}+3n^{2}+2n}{6A^{n+3}}}b^{2}$

und so (nach 14.) die Dichtigkeit am Orte G proportional

$\scriptstyle {\frac {S}{R{\sqrt {1+Q^{2}}}}}={\frac {n\ \left(^{n+1}\right)\left(^{n+2}\right)b^{2}}{6A^{n+3}{\frac {n\left(^{n+1}\right)}{2A\left(^{n+2}\right)}}b^{2}{\sqrt {1+{\frac {d^{2}}{e^{2}}}-{\frac {2dnb^{2}}{eA^{n+1}}}+{\frac {n^{2}b^{4}}{A^{2n+2}}}}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {\left(^{n+2}\right)}{3{\sqrt {A^{2}+{\frac {d^{2}}{e^{2}}}A^{2}-{\frac {2dnb^{2}}{eA^{n}}}A+{\frac {n^{2}b^{4}}{A^{2n}}}}}}}$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 259. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/267&oldid=- (Version vom 1.8.2018)