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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

zwischen diesen Kreisen zur mittleren Dichtigkeit des obigen Mittels zwischen denselben Kreisen. In demselben Verhältniss stehe dann ferner die Secante des Winkels, unter welchem die oben behandelte Spirallinie im dortigen Mittel den Radius AS schneidet, zur Secante desselben Winkels im neuen Mittel. Endlich setze man auch noch voraus, dass die Anzahl aller Umläufe zwischen denselben zwei Kreisen sich sehr nahe verhalten, wie die Tangenten derselben Winkel. Findet dies zwischen je zwei Kreisen statt, so wird auf diese Weise auch die Bewegung zwischen allen Kreisen fortgesetzt werden.

Wir könnten uns eben so leicht vorstellen, wie und in welchen Zeiten die Körper sich in jedem regulären Mittel werden bewegen müssen.

Zusatz 9. Wenn auch die excentrischen Bewegungen auf Spirallinien erfolgen, welche sich der ovalen Form nähern, so kann man doch annehmen, dass die einzelnen Umläufe solcher Spiralen gegenseitig um dieselben Intervalle von einander abstehen und sich in demselben Grade dem Centrum nähern, wie in der oben beschriebenen Spirallinie. Auf diese Weise sehen wir daher ein, wie die Bewegung der Körper in derartigen Spirallinien erfolgt.

§. 22. Lehrsatz. Verhält sich die Dichtigkeit in den einzelnen Orten umgekehrt wie der Abstand derselben vom Centrum, und die Centripetalkraft umgekehrt wie irgend eine Potenz desselben Abstandes; so kann der Körper sich in einer Spirallinie bewegen, welche alle vom Centrum aus gezogenen Radien unter gegebenem Winkel schneidet.

Der Beweis wird eben so, wie im vorhergehenden Satze geführt. Verhält sich nämlich die Centripetalkraft in P umgekehrt wie

Spⁿ⁺¹

so schliesst man wie oben, dass die Zeit, in welcher der Körper den beliebigen Bogen PQ beschreibt, sich verhalte wie

PQ : SP^½n.

Der Widerstand in P ist proportional

\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP^{n}}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)VQ}{PQ\cdot SP^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)\cdot OS}{OP\cdot SP^{n+1}}}

d. h. umgekehrt SPⁿ⁺¹.

Da nun die Geschwindigkeit sich umgekehrt wie SP^½n verhält, so wird die Dichtigkeit in P sich umgekehrt wie SP verhalten.^[1]

Zusatz 1. Der Widerstand verhält sich zur Centripetalkraft, wie

(1 — ½n) OS : OP.

Zusatz 2. Wenn die Centripetalkraft umgekehrt SP³ proportional ist, so wird 1 — ½n = 0, also der Widerstand und die Dichtigkeit beide = 0, wie im ersten Buche, §. 25.

Zusatz 3. Wenn die Centripetalkraft umgekehrt SPⁿ proportional ist, wo n > 3, so geht der positive Widerstand in einen negativen über.

↑ [603] No. 141. S. 280. Die Centripetalkraft ist proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$ , ferner das Stück TQ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$ · t² (wie in §. 22., wo t die Zeit bezeichnet), also t umgekehrt proportional $\scriptstyle {\sqrt {TQ\cdot SP^{n+1}}}={\sqrt {PQ^{2}SP^{n}}}$ (§. 20.) = PQ · SP^½n. Ferner der Widerstand in P proportional $\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP^{n}}}$ . Da nun PQ : QR = $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}:{\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}=QS:{\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ und PQ : Qr = QS : SP, so wird PQ : Rr = QS : $\scriptstyle {\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ [604] Es ist aber PS = QS + VQ und $\scriptstyle {\sqrt {PS^{n}\cdot QS^{2-n}}}={\sqrt {(QS+VQ)^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ = [QS^½n + ½nQS^½n-1 VQ + ....] QS^1-½n = QS + ½nVQ + etc. Je kleiner nun VQ wird, desto eher wird man die folgenden höheren Potenzen gegen die erste vernachlässigen können. Es ergiebt sich also zuletzt PS — $\scriptstyle {\sqrt {PS^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ = QS + VQ — QS — ½nVQ = (1 — ½n)VQ. Der Widerstand wird hiernach proportional $\scriptstyle {\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)VQ}{PQ\cdot SP^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)OS}{OP\cdot PS^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)OS}{PO\cdot PS^{n+1}}}$ , indem man QS = PS setzt. Da nun auch der Widerstand proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n}}}\times$ Dichtigkeit, so wird die Dichtigkeit proportional SPⁿ $\scriptstyle \times$ Widerstand, also $\scriptstyle {\frac {1}{SP}}$ .

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 280. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/288&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [603] No. 141. S. 280. Die Centripetalkraft ist proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$ , ferner das Stück TQ proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n+1}}}$ · t² (wie in §. 22., wo t die Zeit bezeichnet), also t umgekehrt proportional $\scriptstyle {\sqrt {TQ\cdot SP^{n+1}}}={\sqrt {PQ^{2}SP^{n}}}$ (§. 20.) = PQ · SP^½n. Ferner der Widerstand in P proportional $\scriptstyle {\frac {Rr}{PQ^{2}\cdot SP^{n}}}$ . Da nun PQ : QR = $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}:{\frac {1}{SP^{{\frac {1}{2}}n}}}=QS:{\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ und PQ : Qr = QS : SP, so wird PQ : Rr = QS : $\scriptstyle {\sqrt {SP^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ [604] Es ist aber PS = QS + VQ und $\scriptstyle {\sqrt {PS^{n}\cdot QS^{2-n}}}={\sqrt {(QS+VQ)^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ = [QS^½n + ½nQS^½n-1 VQ + ....] QS^1-½n = QS + ½nVQ + etc. Je kleiner nun VQ wird, desto eher wird man die folgenden höheren Potenzen gegen die erste vernachlässigen können. Es ergiebt sich also zuletzt PS — $\scriptstyle {\sqrt {PS^{n}\cdot QS^{2-n}}}$ = QS + VQ — QS — ½nVQ = (1 — ½n)VQ. Der Widerstand wird hiernach proportional $\scriptstyle {\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)VQ}{PQ\cdot SP^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)OS}{OP\cdot PS^{n}\cdot QS}}={\frac {\left(1-{\frac {1}{2}}n\right)OS}{PO\cdot PS^{n+1}}}$ , indem man QS = PS setzt. Da nun auch der Widerstand proportional $\scriptstyle {\frac {1}{SP^{n}}}\times$ Dichtigkeit, so wird die Dichtigkeit proportional SPⁿ $\scriptstyle \times$ Widerstand, also $\scriptstyle {\frac {1}{SP}}$ .

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