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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

tu, uw, wx, etc. wie

\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}

,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BS}}

,

\scriptstyle {\frac {CK}{CS}}

, etc. und die Rechtecke tu, th, uw, lu, etc. oder thpu, uiqw, etc. wie

\scriptstyle {\frac {AH}{AS}}

· th,

\scriptstyle {\frac {BJ}{BS}}

· ui, etc.

Aus der Natur der Hyperbel folgt nämlich

SA : St = th : Aa, oder auch SA : AH = th : Aa,

also
und eben so

1.

{\scriptstyle {\begin{cases}Aa={\frac {AH}{AS}}\cdot th\\Bb={\frac {BJ}{BS}}\cdot ui.\ etc.\end{cases}}}

Nun sind Aa, Bb, etc. stetig proportional, verhalten sich daher wie ihre Unterschiede Aa — Bb, Bb — Cc, etc.; also sind auch die Rechtecke thpu, uiqw etc. diesen letztern Unterschieden respective proportional. Eben so sind die Summen der Unterschiede

Aa — Cc oder Aa — Dd

proportional den Summen der Rechtecke

thpu + uiqw oder thpu + niqw + wkrx.

Nun seien jener Glieder so viel als möglich da, alsdann wird die Summe aller Unterschiede, nämlich

Aa — Ff

der Summe aller Rechtecke proportional sein. Vermehrt man die Zahl der Glieder und vermindert man den Abstand der Punkte A, B, C, etc. ins Unendliche; so geht die Summe jener Rechtecke in die hyperbolische Fläche zthn über, welcher der Unterschied Aa — Pf proportional sein wird.

Nun nehme man die beliebigen Abstände, etwa

SA, SD, SF

in harmonischer Progression;^[1]) so wird

Aa — Dd = Dd — Ff,

also werden auch die, diesen Unterschieden proportionalen, hyperbolischen Flächen einander gleich, d. h.

thlx = xlnz

und so die Dichtigkeiten St, Sx, Sz oder AH, DL, FN stetig proportional. W. z. b. w.

Zusatz. Sind daher zwei beliebige Dichtigkeiten einer Flüssigkeit, etwa AH und CK gegeben, so kennt man auch die, ihrem Unterschiede tw entsprechende Fläche thkw. Hieraus findet man die, einer beliebigen Höhe SF entsprechende, Dichtigkeit mittelst der Proportion

thnz : thkw = Aa — Ff : Aa — Cc.

§. 31. Anmerkung. Durch eine ähnliche Beweisführung kann man darthun, dass, wenn die Schwere der Theilchen einer Flüssigkeit im dreifachen Verhältniss der Entfernungen vom Centrum abnimmt, und die umgekehrten Quadrate dieser Entfernungen (nämlich $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{SB^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{SC^{2}}}$ , etc.) in arithmetischer Progression genommen werden; alsdann die Dichtigkeiten

AH, BJ, CK, etc.

in geometrischer Progression stehen.^[2]

↑ [604] No. 144. S. 291. (Fig. 167.) Eine harmonische Progression bilden die Glieder $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }},\ {\frac {1}{\alpha +\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +2\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +3\beta }}$ , etc.; soll also SA = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }}$ , SD = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +\beta }}$ , SF = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +2\beta }}$ sein, so wird $\scriptstyle {\frac {1}{SA}}-{\frac {1}{SD}}={\frac {1}{SD}}-{\frac {1}{SF}}$ oder 1. $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}={\frac {SF-SD}{SF}}$ . Da nun ferner Aa : Dd = SD : SA und Dd : Ff = SP : SD, so wird 2. Aa — Dd = $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}$ · Dd und Dd — Ff = $\scriptstyle {\frac {SF-SD}{SF}}$ · Dd, also nach 1. Aa — Dd = Dd — Ff. Aus thlx = xlnz folgt St : Sx = Sx : Sz nach Bem. 143.
↑ [604] No. 145. S. 291. Wenn n, n^I, n^II, n^III, n^IV constante Zahlen bezeichnen, so hat man hier die Schwere = $\scriptstyle {\frac {n}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n}{SB^{3}}}$ etc. die Dichtigkeit = n^IAH, n^IBJ, etc. das specif. Gewicht = $\scriptstyle {\frac {n^{II}AH}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{II}BJ}{SB^{3}}}$ , etc. [605] die Drucktheile = $\scriptstyle {\frac {n^{III}AH\cdot AB}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{III}BJ\cdot BC}{SB^{3}}}$ etc. = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc. weil AB : BC etc, = SA : SB etc. Hiernach AH — BJ = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ BJ — CK = wu = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc.
und tu : uw : wx etc. = $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}:{\frac {BJ}{SB^{2}}}:{\frac {CK}{SC^{2}}}:$ etc. Da nun für die Rechtecke tp, uq, wr die Verhältnisse tp : uq: wr = th · tu : uw · iu : wx · rx = th · $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}$ : ui · $\scriptstyle {\frac {BJ}{SB^{2}}}$ : rx · $\scriptstyle {\frac {CK}{SC^{2}}}$ = $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}:{\frac {Bb}{SB}}:{\frac {Cc}{SC}}:$ (nach §., 30., Gl. 1.) stattfinden; so muss nach der Analogie mit §. 30., wie dort GL 2. hier die Gleichung $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}-{\frac {Dd}{SD}}={\frac {Dd}{SD}}-{\frac {Ff}{SF}}$ richtig erwiesen werden. Da nun aber allgemein Aa · AS = Dd · DS = Ff · PS also Aa = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{AS}}$ Ff = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{FS}}$ ; so wird durch Substitution dieser Werthe von Aa und Ff die vorstehende Gleichung übergehen in $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{2}}}-{\frac {1}{SD^{2}}}={\frac {1}{SD^{2}}}-{\frac {1}{SF^{2}}}$ welche hier vorausgesetzt wird.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 291. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/299&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [604] No. 144. S. 291. (Fig. 167.) Eine harmonische Progression bilden die Glieder $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }},\ {\frac {1}{\alpha +\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +2\beta }},\ {\frac {1}{\alpha +3\beta }}$ , etc.; soll also SA = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha }}$ , SD = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +\beta }}$ , SF = $\scriptstyle {\frac {1}{\alpha +2\beta }}$ sein, so wird $\scriptstyle {\frac {1}{SA}}-{\frac {1}{SD}}={\frac {1}{SD}}-{\frac {1}{SF}}$ oder 1. $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}={\frac {SF-SD}{SF}}$ . Da nun ferner Aa : Dd = SD : SA und Dd : Ff = SP : SD, so wird 2. Aa — Dd = $\scriptstyle {\frac {SD-SA}{SA}}$ · Dd und Dd — Ff = $\scriptstyle {\frac {SF-SD}{SF}}$ · Dd, also nach 1. Aa — Dd = Dd — Ff. Aus thlx = xlnz folgt St : Sx = Sx : Sz nach Bem. 143.

[2] [604] No. 145. S. 291. Wenn n, n^I, n^II, n^III, n^IV constante Zahlen bezeichnen, so hat man hier die Schwere = $\scriptstyle {\frac {n}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n}{SB^{3}}}$ etc. die Dichtigkeit = n^IAH, n^IBJ, etc. das specif. Gewicht = $\scriptstyle {\frac {n^{II}AH}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{II}BJ}{SB^{3}}}$ , etc. [605] die Drucktheile = $\scriptstyle {\frac {n^{III}AH\cdot AB}{SA^{3}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{III}BJ\cdot BC}{SB^{3}}}$ etc. = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ , $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc. weil AB : BC etc, = SA : SB etc. Hiernach AH — BJ = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}AH}{SA^{2}}}$ BJ — CK = wu = $\scriptstyle {\frac {n^{IV}BJ}{SB^{2}}}$ etc.
und tu : uw : wx etc. = $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}:{\frac {BJ}{SB^{2}}}:{\frac {CK}{SC^{2}}}:$ etc. Da nun für die Rechtecke tp, uq, wr die Verhältnisse tp : uq: wr = th · tu : uw · iu : wx · rx = th · $\scriptstyle {\frac {AH}{SA^{2}}}$ : ui · $\scriptstyle {\frac {BJ}{SB^{2}}}$ : rx · $\scriptstyle {\frac {CK}{SC^{2}}}$ = $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}:{\frac {Bb}{SB}}:{\frac {Cc}{SC}}:$ (nach §., 30., Gl. 1.) stattfinden; so muss nach der Analogie mit §. 30., wie dort GL 2. hier die Gleichung $\scriptstyle {\frac {Aa}{SA}}-{\frac {Dd}{SD}}={\frac {Dd}{SD}}-{\frac {Ff}{SF}}$ richtig erwiesen werden. Da nun aber allgemein Aa · AS = Dd · DS = Ff · PS also Aa = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{AS}}$ Ff = $\scriptstyle {\frac {Dd\cdot DS}{FS}}$ ; so wird durch Substitution dieser Werthe von Aa und Ff die vorstehende Gleichung übergehen in $\scriptstyle {\frac {1}{SA^{2}}}-{\frac {1}{SD^{2}}}={\frac {1}{SD^{2}}}-{\frac {1}{SF^{2}}}$ welche hier vorausgesetzt wird.

[1]

[2]