½ Radius. Das Increment der Zeit in jedem, zwischen den Quadraturen und Octanten, und ihr Decrement in jedem, zwischen den Octanten und Syzygien gelegenen Orte, wird in demselben Verhältniss stehen. Die Bewegung der Knoten während der Zeit, wo der Mond einzelne gleiche Theile seiner Bahn zurücklegt, wird im doppelten Verhältniss der Zeit beschleunigt oder verzögert. Diese Bewegung ist nämlich, während der Mond den Bogen PM durchläuft (unter übrigens gleichen Umständen) ML, ML aber dem Quadrat der Zeit proportional.[1] Daher wird die Bewegung der Knoten in den Syzygien während der Zeit, dass der Mond gegebene Theile seiner Bahn zurücklegt im Verhältniss 11073² : 11023² vermindert. Ferner verhält sich das Decrement zur übrig bleibenden Bewegung wie 100 : 10973 und zur ganzen Bewegung wie 100 : 11073 beiläufig.[2]
Es steht nun das Decrement in den, zwischen den Octanten und Syzygien und das Increment in den, zwischen den Octanten und Quadraturen gelegenen Orten sehr nahe zu diesem Decrement in einem Verhältniss, welches aus dem Verhältniss der ganzen Bewegung in diesen Orten zur ganzen Bewegung in den Syzygien und aus dem Verhältniss zusammengesetzt ist, in welchem der Unterschied zwischen dem Quadrat vom Sinus des Winkelabstandes des Mondes von der Quadratur und dem halben Quadrat des Radius zum letzteren halben Quadrat steht.[3] Befinden sich also die Knoten in den Quadraturen, und nimmt man zwei gleichweit von den Octanten abstehende Orte, und ausserdem zwei andere an, welche eben so weit von der Syzygie und Quadratur entfernt sind; zieht man hierauf von den Decrementen der Bewegungen in den beiden, zwischen der Syzygie und dem Octanten gelegenen Orten, die Incremente der Bewegungen in den beiden anderen, zwischen Octant und Quadratur gelegenen, Orten ab: so wird der Rest dem Decrement in der Syzygie gleich sein. Hiervon ist der Grund leicht einzusehen.[4] Es ergibt sich demnach hieraus, dass das mittlere Decrement, welches von der mittleren Bewegung der Knoten abgezogen werden muss, dem vierten Theile des Decrementes in der Syzygie gleich ist. Die ganze stündliche Bewegung der Knoten in den Syzygien ist, unter der Voraussetzung, dass der Mond den Zeiten proportionale Flächen um die Erde beschreibe, nach dem früher Gefundenen = 32″,7. Ferner verhält sich das Decrement der Knotenbewegung während der Zeit, wo der Mond denselben Weg geschwinder zurücklegt, zu eben dieser Bewegung, wie 100 : 11073. Das Decrement ist daher = 0″,3 und zieht man dessen vierten Theil = 0″,1 von der früher gefundenen mittleren stündlichen Bewegung 16″,4 ab; so erhält man die verbesserte stündliche Bewegung = 16″,3.
Befinden sich die Knoten ausserhalb der Quadraturen und betrachtet man zwei, auf beiden Seiten gleichweit von den Syzygien abstehende Orte; so wird die Summe der Knotenbewegungen, wenn der Mond sich in diesen Orten befindet, zur entsprechenden Summe der Bewegungen
- ↑ [633] No. 253. S. 431. In derselben Zeit, wo der Mond in seiner Bahn den Weg PM zurücklegt, beschreibt er, vermöge der während dieser kurzen Zeit als constant zu betrachtenden Sonnenkraft 3 · JT den Weg SM und dieser ist alsdann 3 · JT · Q², wenn t jene kleine Zeit bezeichnet.
- ↑ [633] No. 254. S. 431. Es verhält sich die übrigbleibende Bewegung zur ganzen Bewegung, wie 11023² : 11073², d. h. wie (11073 – 50)² : 11073² und wenn man 50² gegen 11073² vernachlässigt, beiläufig
11073² – 100 · 11073 : 11073², 11073 – 100 : 11073, 10973 : 11073,
woraus die Verhältnisse 100 : 10973 und 100 : 11073 im Text unmittelbar hervorgehen.
- ↑ [633] No. 255. S. 431. Man setze den Winkel, welchen der Mond im Octanten O in einer gegebenen Zeit zurücklegt = L, den derselben Zeit im Punkte P entsprechenden Winkel = L + x, endlich den der Syzygie A entsprechenden L + l. Ferner sei die, derselben Zeit entsprechende Bewegung des Knotens in O = N – d und in P = N. Da nun die letzteren Bewegungen dem Quadrat der Zeiten proportional sind, so wird N – d : N = L² : (L + x)² = L² : L² + 2Lx + x² oder, weil x in Vergleichung mit L sehr klein ist, genähert
Fig. 261.
1. N – d : N = L : L + 2xund hieraus N : d = L + 2x : 2x oder wieder genähert
2. N : d = L : 2x.Bezeichnet nun A die Bewegung des Knotens in der Syzygie A, und a deren Increment, so ist nach 2.
3. a : A = 2l : Lund nach 2. und 3. aN : d · A = l : x oder auch
4. d : a = xN : l · A.[634] Nach der Stelle im Texte (§. 30) ist x : l = TE² – ½AT² : ½AT² und so xN : lA = N(TE² – ½AT²) : ½A · AT², also nach 4.5. d : a = N(TE² – ½AT²) : ½A · AT².Nun ist TE = AT · sin PTQ = AT · cos AP, also TE² – ½AT² = AT² cos AP² – ½AT² = ½AT² cos 2 · AP), und nach 5.
6. d : a = N · AT · cos 2AP : A · AT. - ↑ [634] No. 256. S. 431. Es sei die Syzygia in A, die Quadranten in Q und der Octant in O. Ferner sei AP = OP' = OP'' = QP''' = AK, PE auf AT, PF' auf KT perpendiculär, AL = AP' und P'G auf LT perpendiculär. Je nachdem der Mond sich in A, P, P', P'', P''' befindet, mögen die stündlichen Bewegungen der Knoten Q und q durch jene Buchstaben selbst, die Decremente dieser Bewegungen in A, P, P' durch a, p, p', die Incremente in P'' und P''' durch p'', p''' bezeichnet werden.
Fig. 262.
Nach der vorhergehenden Bemerkung (255) ist nun
1. p : a = P · TF : A · TA,ferner weil PQJ = 2 · PQ, nach §. 30 P : A = JF : 2AT und so,
2. p : a = JF · TF : 2 · AT²,ebenso
3. p''' : a = KF · TF : 2 · AT²,indem KF = TA sin vers. PK = TA sin vers. 2 · AP = TA sin vers. 2 · P'''Q und TF = TA cos 2 · AP = TA cos 2 · P'''Q. Aus 2. und 3. folgt p – p''' : a = (JF – KF)TF : 2AT² = 2TF² : 2 · AT² oder
4. p – p''' : a = TF² : AT²,ähnlich
5. p' – p'' : a = TG² : AT²und aus 4. und 5.
6. p + p' – p'' – p''' : = TF² + JG² : AT².Da nun TF = TA · cos 2 · AP, TG = TA cos 2 · AP' = TA cos 2 (AO – OP') = TA cos 2(45° – AP) = TA sin 2 · AP, also TF² + TG² = TA², so wird aus 6. p + p' – p'' – p''' = a.
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 431. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/439&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
