Seite:NewtonPrincipien.djvu/580

Dieser Text wurde anhand der angegebenen Quelle einmal korrekturgelesen. Die Schreibweise sollte dem Originaltext folgen. Es ist noch ein weiterer Korrekturdurchgang nötig.

	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Auf ähnliche Weise siehe man drei oder mehrere gerade Sq" Sq'", etc., und durch alle so erhaltenen Punkte q, q", q'", etc. die reguläre Curve qq" q"', welche die gerade Linie TP in dem gesuchten Punkte P schneiden wird. Von diesem fälle man das Perpendikel PR.

2. Trigonometrisch. Man nehme die eben gefundene Linie TP an, alsdann werden dadurch in den Dreiecken TPR und TPS die Perpendikel TR und BS gegeben und im Dreieck SBP die Seite SP und der Unterschied $\scriptstyle {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{2}}}$ — SP = D bekannt werden.

Nun bewirke man, dass D sich zu einem neuen Unterschiede E verhalte, wie p" q" ± p" q'" : p" p"', oder wie p" q" ± D : p" P.

Addirt oder subtrahirt man diesen neuen Unterschied zu oder von TP, so erhält man die verbesserte Länge TP ± E.

Die Wahl der Zeichen + oder — hängt von der Zeichnung ab.

Sollte eine weitere Verbesserung nöthig sein, so wiederhole man die Operation.

3. Arithmetisch. Die vorhergehende graphische Operation sei ausgeführt, und es werde die so gefundene Länge von TP = TP + e gesetzt. Alsdann erhält man folgende verbesserte Werthe für die Linien OR, BP und SP, nämlich für OR, OR — $\scriptstyle {\frac {TR}{TP}}$ e, für BP, BP + e, für SP, $\scriptstyle {\sqrt {SP^{2}+2BP\cdot e+e^{2}}}={\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{2}-2{\frac {OR\cdot TR}{TP}}e+{\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}e^{2}}}$ .

Hieraus folgt nach der Methode der convergirenden Reihen

1. SP +

\scriptstyle {\frac {BP}{SP}}

e +

\scriptstyle {\frac {SB^{2}}{2SP^{3}}}

e² etc. =

\scriptstyle {\frac {M^{2}N}{OR^{2}}}

+ 2

\scriptstyle {\frac {TR}{TP}}

·

\scriptstyle {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{3}}}

e + 3 ·

\scriptstyle {\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}\cdot {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{4}}}

e² etc.^[1]

Nun setze man die gegebenen Werthe

2.

\scriptstyle {\begin{cases}\quad {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{2}}}-SP=F,\\2.\ {\frac {TR}{TP}}\cdot {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{3}}}-{\frac {BP}{SP}}={\frac {T}{G}},\\3.\ {\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}\cdot {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{4}}}-{\frac {SB^{2}}{2SP^{3}}}={\frac {F}{G\cdot H}}\end{cases}}

alsdann wird, wenn man die Zeichen gehörig berücksichtigt, nach GL 1. F + $\scriptstyle {\frac {F}{G}}$ e + $\scriptstyle {\frac {F}{GH}}$ e² = 0, oder

3. e +

\scriptstyle {\frac {e^{2}}{H}}

= — G.

Vernachlässigt man das sehr kleine Glied $\scriptstyle {\frac {e^{2}}{H}}$ , so wird

4. e = — G;

ist jenes Glied nicht zu vernachlässigen, so setze man in demselben

↑ [665] No. 369. S. 572. Da SP = $\scriptstyle {\sqrt {SB^{2}+BP^{2}}}$ , so wird verbessert SP = $\scriptstyle {\sqrt {SB^{2}+(BP^{2}+e)^{2}}}={\sqrt {SP^{2}+2BP\ e+e^{2}}}$ , ferner SP = $\scriptstyle {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{2}}}$ , also verbessert SP = $\scriptstyle {\frac {M^{2}\cdot N}{\left(OR-{\frac {TR}{TP}}e\right)^{2}}}={\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{2}-2{\frac {OR\cdot TR}{TP}}e+{\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}e^{2}}}$ . Hier steht im Original fälschlich + $\scriptstyle {\frac {2\ OR\cdot TR}{TP}}$ e. Es wird hierauf $\scriptstyle {\sqrt {SP^{2}+2BP\ e+e^{2}}}$ = (SP²)^½ + ½ (SP²)^-½ BP · e + ½(SP²)^-½e² — 1/8(SP²)^-3/2 4BP²e etc. = SP + $\scriptstyle {\frac {BP}{SP}}$ e + ½ $\scriptstyle {\frac {SP^{2}-BP^{2}}{SP^{3}}}$ e² etc = SP + $\scriptstyle {\frac {BP}{SP}}$ e + $\scriptstyle {\frac {SB^{2}}{2SP^{3}}}$ e² etc. [666] $\scriptstyle {\frac {M^{2}N}{OR^{2}-2{\frac {OR\cdot TR}{TP}}e+{\frac {TK^{2}}{TP^{2}}}e^{2}}}$ $\scriptstyle M^{2}N\ \left\{\left(OR^{2}\right)^{-1}1\cdot \left(OR^{2}\right)^{-2}\left(-{\frac {2OR\cdot TR}{TP}}e\right)-1\left(OR^{2}\right)^{-2}{\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}e^{2}\right.$ $\scriptstyle \left.+\left(OR^{2}\right)^{-3}4\cdot {\frac {OR^{2}\cdot TR^{2}}{TP^{2}}}e^{2}\right\}$ $\scriptstyle ={\frac {M^{2}N}{OR^{2}}}+2{\frac {TR}{TP}}\cdot {\frac {M^{2}N}{OR^{3}}}e+3\cdot {\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}\cdot {\frac {M^{2}N}{OR^{4}}}e$ etc.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 572. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/580&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [665] No. 369. S. 572. Da SP = $\scriptstyle {\sqrt {SB^{2}+BP^{2}}}$ , so wird verbessert SP = $\scriptstyle {\sqrt {SB^{2}+(BP^{2}+e)^{2}}}={\sqrt {SP^{2}+2BP\ e+e^{2}}}$ , ferner SP = $\scriptstyle {\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{2}}}$ , also verbessert SP = $\scriptstyle {\frac {M^{2}\cdot N}{\left(OR-{\frac {TR}{TP}}e\right)^{2}}}={\frac {M^{2}\cdot N}{OR^{2}-2{\frac {OR\cdot TR}{TP}}e+{\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}e^{2}}}$ . Hier steht im Original fälschlich + $\scriptstyle {\frac {2\ OR\cdot TR}{TP}}$ e. Es wird hierauf $\scriptstyle {\sqrt {SP^{2}+2BP\ e+e^{2}}}$ = (SP²)^½ + ½ (SP²)^-½ BP · e + ½(SP²)^-½e² — 1/8(SP²)^-3/2 4BP²e etc. = SP + $\scriptstyle {\frac {BP}{SP}}$ e + ½ $\scriptstyle {\frac {SP^{2}-BP^{2}}{SP^{3}}}$ e² etc = SP + $\scriptstyle {\frac {BP}{SP}}$ e + $\scriptstyle {\frac {SB^{2}}{2SP^{3}}}$ e² etc. [666] $\scriptstyle {\frac {M^{2}N}{OR^{2}-2{\frac {OR\cdot TR}{TP}}e+{\frac {TK^{2}}{TP^{2}}}e^{2}}}$ $\scriptstyle M^{2}N\ \left\{\left(OR^{2}\right)^{-1}1\cdot \left(OR^{2}\right)^{-2}\left(-{\frac {2OR\cdot TR}{TP}}e\right)-1\left(OR^{2}\right)^{-2}{\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}e^{2}\right.$ $\scriptstyle \left.+\left(OR^{2}\right)^{-3}4\cdot {\frac {OR^{2}\cdot TR^{2}}{TP^{2}}}e^{2}\right\}$ $\scriptstyle ={\frac {M^{2}N}{OR^{2}}}+2{\frac {TR}{TP}}\cdot {\frac {M^{2}N}{OR^{3}}}e+3\cdot {\frac {TR^{2}}{TP^{2}}}\cdot {\frac {M^{2}N}{OR^{4}}}e$ etc.

[1]