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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Parameter gleich ist, wie dieser Halbmesser zum Perpendikel vom Brennpunkte auf die Tangente des Kegelschnittes. Dies folgt aus Zusatz 5.

Zusatz 9. Da nach §. 18., Zusatz 6. die Geschwindigkeit in diesem Kreise sich zu der in einem andern Kreise indirect wie die Quadratwurzeln aus den Radien verhält, so wird sich auch die Geschwindigkeit in dem Kegelschnitt verhalten zu der Geschwindigkeit in einem Kreise, dessen Halbmesser gleich dem Abstand in jenem ist, wie die mittlere Proportionale zwischen jenem gemeinschaftlichen Abstande und dem halben Parameter zu dem Perpendikel, welches vom gemeinschaftlichen Brennpunkte auf die Tangente des Kegelschnittes gefällt wird.^[1]

§. 37. Aufgabe. Die Centripetalkraft ist indirect dem Quadrate des Abstandes vom Centrum proportional, und man kennt die absolute Grösse jener Kraft; man sucht die Linie, welche ein Körper beschreibt, der von einem gegebenen Orte, mit gegebener Geschwindigkeit und nach gegebener Richtung ausgeht.

Fig. 28.

Die nach dem Punkte S gerichtete Centripetalkraft sei so beschaffen, dass sie der Körper p in der beliebigen Bahn pq wandern lässt und man kenne seine Geschwindigkeit im Punkte p. Vom Punkte P gehe der Körper längs PR mit gegebener Geschwindigkeit aus, und werde dann durch die Centripetalkraft in den Kegelschnitt PQ gebracht. Die letztere Curve wird daher durch PR im Punkte P berührt. Eben so berühre pr die Curve pq in p. Denkt man sich von S auf beide Tangenten Perpendikel gefällt, so steht nach §. 36., Zusatz 1. der Parameter des Kegelschnittes zu dem der gegebenen Curve in einem Verhältniss, welches aus dem Quadrat der Perpendikel und dem der Geschwindigkeiten zusammengesetzt ist; ersterer ist mithin gegeben und sei = L.

Ferner ist der Brennpunkt S des Kegelschnitts gegeben, und setzt man $\scriptstyle \angle$ RPH = 180° – RPS, so ist die Richtung der Linie PH, in welcher der andere Brennpunkt H liegt, bekannt. Zieht man nun SK perpendikulär auf PH, so ist

1. SH²	= 4CH² = 4BH² – 4BC²
	= (SP + PH)² – L(SP + PH)
	= SP² + 2SP · PH + PH² – L(SP + PH)

Da nun auch

2. SH² = SP² + PH² – 2PH · PK,

so wird

– 2PH · PK = 2SP · PH – L(SP + PH)

oder

L · (SP + PH) = 2PH (PS + PK)

↑ [581] No. 22. S. 78. Ist der Parameter = p, die Geschwindigkeit im Kegelschnitt = V, die im ersten Kreise = k, die im zweiten = K, der Abstand in diesem und im Kegelschnitt = r, das Perpendikel auf die Tangente = T; so hat man, nach Zusatz 8. V : k = ½p : T nach §. 18., Zusatz 6. $\scriptstyle k:K={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{2}}p}}}:{\frac {1}{\sqrt {r}}}$ , mithin $\scriptstyle V:K={\sqrt {{\frac {1}{2}}p}}:{\frac {T}{\sqrt {r}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}p\cdot r}}:T$ .

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 78. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/86&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [581] No. 22. S. 78. Ist der Parameter = p, die Geschwindigkeit im Kegelschnitt = V, die im ersten Kreise = k, die im zweiten = K, der Abstand in diesem und im Kegelschnitt = r, das Perpendikel auf die Tangente = T; so hat man, nach Zusatz 8. V : k = ½p : T nach §. 18., Zusatz 6. $\scriptstyle k:K={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{2}}p}}}:{\frac {1}{\sqrt {r}}}$ , mithin $\scriptstyle V:K={\sqrt {{\frac {1}{2}}p}}:{\frac {T}{\sqrt {r}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}p\cdot r}}:T$ .

[1]