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	Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie

Bemerkung zur Quaternionentheorie.

Von

O. Hölder.

Vorgelegt von H. A. Schwarz.

Für die Grundoperationen im Gebiete der reellen und der gewöhnlichen complexen, in der Form $x+yi$ enthaltenen Größen bestehen die Gesetze:

(1)	$\left\{{\begin{aligned}a+b&=b+a\\(a+b)+c&=a+(b+c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\(ab)\cdot c&=a(bc)\\(a+b)\cdot c&=ac+bc.\end{aligned}}\right.$

Die umgekehrten Operationen, Subtraction und Division können hier übergangen werden. Das angegebene System ist vollständig. Bedeuten nämlich $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ ganz willkürlich veränderliche Größen, und bildet man aus diesen unter Hinzunahme von einigen bestimmt gegebenen reellen Größen durch mehrfache Anwendung der Addition und Multiplication neue Größen, welche also Functionen von $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ sind, so ist die fundamentale Frage die: Unter welcher Bedingung stimmen zwei solcher Functionen, die verschieden gebildet sind, für alle Werthe der Größen $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ überein? Diese Frage ist gleichwerthig mit der folgenden: Wann ist eine solche Größe für alle Werthe von $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ gleich Null? Dies ist dann und nur dann der Fall, wenn der fragliche Ausdruck vermöge der mit (1) bezeichneten Relationen identisch zu Null gemacht werden kann. Es ist wohl kaum hinzuzufügen, daß der Begriff „identisch“ hier nicht in dem sonst in der Algebra üblichen Sinn, sondern nur seinem rein logischen Inhalt nach zu nehmen ist.

Der Beweis der aufgestellten Behauptung ergiebt sich daraus, daß jeder durch Addition und Multiplication gebildete Ausdruck mit Hilfe der Gleichungen (1) geordnet werden kann, und daß der geordnete Ausdruck nach dem Cartesischen Satz nicht für alle

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Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 34. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Bemerkung_zur_Quaternionentheorie_1889.pdf/1&oldid=- (Version vom 1.8.2018)