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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

Wie verhält sich nun das Elektron gegenüber der Einwirkung drehender äußerer Kräfte? Diese Frage beantworten wir zunächst für den Fall, daß die Geschwindigkeit ${\mathfrak {q}}$ des Mittelpunktes Null ist. Die reine Rotation gehört, wie im vorigen Abschnitte gezeigt wurde, zu den ausgezeichneten Bewegungen, deren Dynamik von der Lagrangeschen Funktion abhängt. Wir berechnen dieselbe auf dem dort angegebenen Wege. Zunächst bestimmen wir die Potentiale Φ, ${\mathfrak {A}}$, indem wir in den Gleichungen (20) bis (20c) β=0 setzen; ϑ gibt dabei den Betrag der Drehgeschwindigkeit an; daß wir die x-Achse der Drehachse parallel gelegt haben, ist hier unwesentlich. Es gelten die Differentialgleichungen

(25)	${\begin{cases}\Delta \Phi =-4\pi \varrho ,&\Delta {\mathfrak {A}}_{x}=0,\\\\\Delta {\mathfrak {A}}_{y}={\frac {4\pi \varrho }{c}}\vartheta z,&\Delta {\mathfrak {A}}_{z}=-{\frac {4\pi \varrho }{c}}\cdot \vartheta y.\end{cases}}$

Nach (7a) wird

(25a)

$\varphi =\Phi -{\frac {1}{c}}({\mathfrak {vA}})=\Phi +{\frac {\vartheta }{c}}(z{\mathfrak {A}}_{y}-y{\mathfrak {A}}_{z})$

und nach (21) ist die Lagrangesche Funktion zu berechnen. Bei Volumenladung des kugelförmigen Elektrons vom Radius (a) werden die Differentialgleichungen für ${\mathfrak {A}}_{y},\ {\mathfrak {A}}_{z}$ integriert durch den Ansatz

(25b)

${\begin{cases}r<a&{\begin{cases}{\mathfrak {A}}_{y}=-z\cdot {\frac {\vartheta e}{c}}\left({\frac {1}{2a}}-{\frac {3}{10}}\cdot {\frac {r^{2}}{a^{3}}}\right)\\\\{\mathfrak {A}}_{z}=+y\cdot {\frac {\vartheta e}{c}}\left({\frac {1}{2a}}-{\frac {3}{10}}\cdot {\frac {r^{2}}{a^{3}}}\right)\end{cases}}\\\\r>a&{\begin{cases}{\mathfrak {A}}_{y}=-z\cdot {\frac {\vartheta e}{c}}\cdot {\frac {a^{2}}{5r^{3}}},\\\\{\mathfrak {A}}_{z}=+y\cdot {\frac {\vartheta e}{c}}\cdot {\frac {a^{2}}{5r^{3}}}.\end{cases}}\end{cases}}$

Derselbe erfüllt auch für r=a die Stetigkeitsbedingungen, die den Potentialen räumlicher Massenverteilungen vorgeschrieben sind, und verhält sich im Unendlichen so, wie es verlangt wird. Da ferner ${\mathfrak {A}}_{x}=0$, und Φ ein elektrostatisches Potential, so wird:

${\begin{array}{ll}L&=-\int \int \int {\frac {dv\varrho \varphi }{2}}\\\\&=-\int \int \int {\frac {dv\varrho \Phi }{2}}-{\frac {\vartheta }{c}}\cdot \int \int \int {\frac {dv\varrho }{2}}(z{\mathfrak {A}}_{y}-y{\mathfrak {A}}_{z})\\\\&=-{\frac {3}{5}}{\frac {e^{2}}{a}}+{\frac {\vartheta ^{2}}{c^{2}}}\cdot e\cdot \int \int \int {\frac {dv\varrho }{2}}(y^{2}+z^{2})\left({\frac {1}{2a}}-{\frac {3}{10}}{\frac {r^{2}}{a^{3}}}\right)\end{array}}$

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 170. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/66&oldid=- (Version vom 1.8.2018)