Seite:RiemannPrim1859.djvu/9

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bei unaufhörlichem Wachsen der Größe convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können.

Aus findet sich mittelst der durch Umkehrung der Relation

sich ergebenden Gleichung

worin für der Reihe nach die durch kein Quadrat außer 1 theilbaren Zahlen zu setzen sind und die Anzahl der Primfactoren von bezeichnet.

Beschränkt man auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für oder, bis auf einen mit wachsendem sehr schnell abnehmenden Theil,

einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen + der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Größe .

Die bekannte Näherungsformel ist also nur bis auf Größen von der Ordnung der Größe richtig und giebt einen etwas zu großen Werth; denn die nicht periodischen[1] Glieder in dem Ausdrucke von sind, von Größen, die mit nicht in’s Unendliche wachsen, abgesehen:

In der That hat sich bei der von Gauß und Goldschmidt[2] vorgenommenen und bis zu drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von mit der Anzahl der Primzahlen unter diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Genaugenommen sind die Terme nicht periodisch, sondern oszillierend.
  2. Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt (1807–1851), ein Gauß-Schüler.
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 679. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/9&oldid=2638304 (Version vom 4.5.2016)