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	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

bei unaufhörlichem Wachsen der Größe $b$ convergirt, übereinstimmt; durch veränderte Anordnung aber würde sie jeden beliebigen reellen Werth erhalten können.

Aus $f(x)\,$ findet sich $F(x)\,$ mittelst der durch Umkehrung der Relation

$f(x)=\sum {\frac {1}{n}}F\left(x^{\frac {1}{n}}\right)$

sich ergebenden Gleichung

$F(x)=\sum (-1)^{\mu }{\frac {1}{m}}f\left(x^{\frac {1}{m}}\right),$

worin für $m$ der Reihe nach die durch kein Quadrat außer 1 theilbaren Zahlen zu setzen sind und $\mu$ die Anzahl der Primfactoren von $m$ bezeichnet.

Beschränkt man $\sum ^{\alpha }\,$ auf eine endliche Zahl von Gliedern, so giebt die Derivirte des Ausdrucks für $f(x)\,$ oder, bis auf einen mit wachsendem $x$ sehr schnell abnehmenden Theil,

${\frac {1}{\log x}}-2\sum ^{\alpha }{\frac {\cos(\alpha \log x)x^{-{\frac {1}{2}}}}{\log x}}$

einen angenäherten Ausdruck für die Dichtigkeit der Primzahlen + der halben Dichtigkeit der Primzahlquadrate $+{\tfrac {1}{3}}$ von der Dichtigkeit der Primzahlcuben u. s. w. von der Größe $x$.

Die bekannte Näherungsformel $F(x)=Li(x)\,$ ist also nur bis auf Größen von der Ordnung der Größe $x^{\frac {1}{2}}$ richtig und giebt einen etwas zu großen Werth; denn die nicht periodischen^[1] Glieder in dem Ausdrucke von $F(x)\,$ sind, von Größen, die mit $x$ nicht in’s Unendliche wachsen, abgesehen:

$Li(x)-{\frac {1}{2}}Li\left(x^{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{3}}Li\left(x^{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{5}}Li\left(x^{\frac {1}{5}}\right)+{\frac {1}{6}}Li\left(x^{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{7}}Li\left(x^{\frac {1}{7}}\right)+\ldots$

In der That hat sich bei der von Gauß und Goldschmidt^[2] vorgenommenen und bis zu $x=$ drei Millionen fortgesetzten Vergleichung von $Li(x)\,$ mit der Anzahl der Primzahlen unter $x$ diese Anzahl schon vom ersten Hunderttausend an stets

Anmerkungen (Wikisource)

1. Genaugenommen sind die Terme $Li(x^{{\frac {1}{2}}+\alpha i})$ nicht periodisch, sondern oszillierend.
2. Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt (1807–1851), ein Gauß-Schüler.

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 679. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/9&oldid=- (Version vom 18.8.2016)