aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Vertauscht man in
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
2)
x
mit
ξ
=
x
m
1
+
y
n
1
+
z
p
1
−
α
t
y
mit
η
=
x
m
2
+
y
n
2
+
z
p
2
−
β
t
z
mit
ξ
=
x
m
3
+
y
n
3
+
z
p
3
−
γ
t
t
mit
τ
=
t
−
(
a
x
+
b
y
+
c
z
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}x{\text{ mit }}\xi =xm_{1}+yn_{1}+zp_{1}-\alpha t\\y{\text{ mit }}\eta =xm_{2}+yn_{2}+zp_{2}-\beta t\\z{\text{ mit }}\xi =xm_{3}+yn_{3}+zp_{3}-\gamma t\\t{\text{ mit }}\tau =t-(ax+by+cz)\\\end{array}}}
und bezeichnet die so erhaltenen Functionen resp. mit
(
U
)
{\displaystyle (U)}
(
V
)
{\displaystyle (V)}
(
W
)
{\displaystyle (W)}
u
=
(
U
)
{\displaystyle u=(U)}
v
=
(
V
)
{\displaystyle v=(V)}
w
=
(
W
)
{\displaystyle w=(W)}
[ AU 1]
Denn man erhält z. B. für die erste von ihnen:
∂
2
(
U
)
∂
τ
2
(
1
−
ω
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
)
=
ω
2
{
∂
2
(
U
)
∂
ξ
2
(
m
1
2
+
n
1
2
+
p
1
2
−
α
2
ω
2
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \tau ^{2}}}\left(1-\omega ^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\right)=\omega ^{2}\left\{{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \xi ^{2}}}\left(m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{\omega ^{2}}}\right)\right.}
+
∂
2
(
U
)
∂
η
2
(
m
2
2
+
n
2
2
+
p
2
2
−
β
2
ω
2
)
+
∂
2
(
U
)
∂
ζ
2
(
m
3
2
+
n
3
2
+
3
3
2
−
γ
2
ω
2
)
{\displaystyle +{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \eta ^{2}}}\left(m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \zeta ^{2}}}\left(m_{3}^{2}+n_{3}^{2}+3_{3}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{\omega ^{2}}}\right)}
+
2
∂
2
(
U
)
∂
η
∂
ζ
(
m
2
m
3
+
n
2
n
3
+
p
2
p
3
−
β
γ
ω
2
)
{\displaystyle +2{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \eta \ \partial \zeta }}\left(m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}+p_{2}p_{3}-{\frac {\beta \gamma }{\omega ^{2}}}\right)}
+
2
∂
2
(
U
)
∂
ζ
∂
ξ
(
m
3
m
1
+
n
3
n
1
+
p
3
p
1
−
γ
α
ω
2
)
{\displaystyle +2{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \zeta \ \partial \xi }}\left(m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}+p_{3}p_{1}-{\frac {\gamma \alpha }{\omega ^{2}}}\right)}
+
2
∂
2
(
U
)
∂
ξ
∂
η
(
m
1
m
2
+
n
1
n
2
+
p
1
p
2
−
α
β
ω
2
)
{\displaystyle +2{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \xi \ \partial \eta }}\left(m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}-{\frac {\alpha \beta }{\omega ^{2}}}\right)}
−
2
∂
2
(
U
)
∂
τ
∂
ξ
(
a
m
1
+
b
n
1
+
c
p
1
−
α
ω
2
)
{\displaystyle -2{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \tau \ \partial \xi }}\left(am_{1}+bn_{1}+cp_{1}-{\frac {\alpha }{\omega ^{2}}}\right)}
−
2
∂
2
(
U
)
∂
τ
∂
η
(
a
m
2
+
b
n
2
+
c
p
2
−
β
ω
2
)
{\displaystyle -2{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \tau \ \partial \eta }}\left(am_{2}+bn_{2}+cp_{2}-{\frac {\beta }{\omega ^{2}}}\right)}
−
2
∂
2
(
U
)
∂
τ
∂
ζ
(
a
m
3
+
b
n
3
+
c
p
3
−
γ
ω
2
)
}
{\displaystyle \left.-2{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \tau \ \partial \zeta }}\left(am_{3}+bn_{3}+cp_{3}-{\frac {\gamma }{\omega ^{2}}}\right)\right\}}
und diese ist, da ja sein muß:
∂
2
(
U
)
∂
τ
2
=
ω
2
(
∂
2
(
U
)
∂
ξ
2
+
∂
2
(
U
)
∂
η
2
+
∂
2
(
U
)
∂
ζ
2
)
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \tau ^{2}}}=\omega ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \eta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}(U)}{\partial \zeta ^{2}}}\right)}
erfüllt, wenn folgende neue Gleichungen bestehen:
1
−
ω
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
=
m
1
2
+
n
1
2
+
p
1
2
−
α
2
ω
2
=
m
2
2
+
n
2
2
+
p
2
2
−
β
2
ω
2
=
m
3
2
+
n
3
2
+
p
3
2
−
γ
2
ω
2
{\displaystyle {\begin{aligned}1-\omega ^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})&=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{\omega ^{2}}}\\&=m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\\&=m_{3}^{2}+n_{3}^{2}+p_{3}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{\omega ^{2}}}\end{aligned}}}
3)
Anmerkungen des Autors
↑ Wegen der gleichen Ordnung aller Glieder der Gleichung (1) können die rechten Seiten der Substitutionsformeln (2) mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden, ohne daß sich an den Resultaten etwas ändert.
