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	Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip

${\frac {\beta \gamma }{\omega ^{2}}}=m_{2}m_{3}+n_{2}n_{3}+p_{2}p_{3}$ ${\frac {\gamma \alpha }{\omega ^{2}}}=m_{3}m_{1}+n_{3}n_{1}+p_{3}p_{1}$ ${\frac {\alpha \beta }{\omega ^{2}}}=m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}$

4)

${\frac {\alpha }{\omega ^{2}}}=am_{1}+bn_{1}+cp_{1}$ ${\frac {\beta }{\omega ^{2}}}=am_{2}+bn_{2}+cp_{2}$ ${\frac {\gamma }{\omega ^{2}}}=am_{3}+bn_{3}+cp_{3}$

5)

Nimmt man $\alpha \beta \gamma$ als gegeben an, so hat man 12 verfügbare Constanten, kann also über drei von ihnen willkürlich verfügen.

Die Auflösung erfolgt am bequemsten, wenn man vorübergehend ein Coordinatensystem $X_{1}$, $Y_{1}$, $Z_{1}$, benutzt, für welches in den Gleichungen (2) $\beta$ und $\gamma$ verschwinden, $\alpha$ gleich $\chi$ wird; d. h. ein solches, dessen $X_{1}$-Axe in die Richtung fällt, deren Richtungscosinus gegen $X$, $Y$, $Z$ mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ proportional sind.

Es sei ferner gesetzt

${\begin{array}{clcclcclcclc}m_{h}^{2}+n_{h}^{2}+p_{h}^{2}&=&q_{h}^{2},&m_{h}/q_{h}&=&\mu _{h},&n_{h}/q_{h}&=&\nu _{h},&p_{h}/q_{h}&=&\pi _{h}\\\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=&d^{2},&a/d&=&\mu ,&b/d&=&\nu ,&c/d&=&\pi ,\end{array}}$

dann sind $\mu$, $\nu$, $\pi$ die Richtungscosinus von 4 Richtungen, die wir durch $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, $\delta _{3}$ und $\delta$ bezeichnen wollen, gegen das System $X_{1}$, $Y_{1}$, $Z_{1}$.

Durch diese Einführungen werden unsere Gleichungen (3), (4) und (5):

$1-\omega ^{2}d^{2}=q_{1}^{2}-{\frac {\chi ^{2}}{\omega ^{2}}}=q_{2}^{2}=q_{3}^{2}$

3')

$\mu _{2}\mu _{3}+\nu _{2}\nu _{3}+\pi _{2}\pi _{3}=\mu _{3}\mu _{1}+\nu _{3}\nu _{1}+\pi _{3}\pi _{1}=\mu _{1}\mu _{2}+\nu _{1}\nu _{2}+\pi _{1}\pi _{2}=0$

${\text{d. h. }}\cos(\delta _{2},\delta _{3})=\cos(\delta _{3},\delta _{1})=\cos(\delta _{1},\delta _{2})=0$

4')

$\mu \mu _{1}+\nu \nu _{1}+\pi \pi _{1}={\frac {\chi }{\omega ^{2}q_{1}d}},\mu \mu _{2}+\nu \nu _{2}+\pi \pi _{2}+\mu \mu _{3}+\nu \nu _{3}+\pi \pi _{3}=0$

${\text{d. h. }}\cos(\delta ,\delta _{1})={\frac {\chi }{\omega ^{2}q_{1}d}},\cos(\delta ,\delta _{2})=\cos(\delta ,\delta _{3})=0.$

5')

Nach (4') stehen die drei Richtungen $\delta _{1}$, $\delta _{2}$, $\delta _{3}$ zu einander senkrecht, nach (5') fällt $\delta _{1}$ mit $\delta$ zusammen, es muß also sein:

$\mu =\mu _{1},\nu =\nu _{1},\pi =\pi _{1}{\text{ und }}{\frac {\chi }{\omega ^{2}q_{1}d}}=1.$

6)

Empfohlene Zitierweise:
Woldemar Voigt: Ueber das Doppler’sche Princip. Göttingen: Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, 1887, Seite 43. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_das_Doppler%27sche_Princip.djvu/3&oldid=- (Version vom 1.8.2018)