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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

Lote $MP$ und $MQ$ auf die Koordinatenachsen, so sind die Lobatschefskijschen Koordinaten von $M$

$X=0P,\ Y=MP$

Die Weierstraßschen sind

$x=\mathrm {sh} \,MQ,\ y=\mathrm {sh} \,MP,\ l=\mathrm {ch} \,0M$

oder

(21)	$x=\mathrm {sh} \,\xi ,\ y=\mathrm {sh} \,\eta ,\ l=\mathrm {ch} \,r.$

Aus dem dreirechtwinkligen Vierecke $0PMQ$ erhält man

$x=\mathrm {sh} \,X\ \mathrm {ch} \,Y$

weiters ist

(22)	${\begin{array}{l}y=\mathrm {sh} \,Y,\\l=\mathrm {ch} \,X\ \mathrm {ch} \,Y,\end{array}}$

und so sind die Weierstraßsehen Koordinaten ausgedrückt mittels der Lobatschefskijschen.

Im allgemeinen Falle haben wir die Fig. 5. Sind $N,R,S$ die Fußpunkte der drei Lote $\xi ,\eta ,\zeta$ von $M$ auf die Koordinatenebenen, so sind

$X=0P,\ Y=PN,\ Z=NM$

die Lobatschefskijschen, und

(23)	${\begin{array}{l}x=\mathrm {sh} \,\xi =\mathrm {sh} \,X\ \mathrm {ch} \,Y\ \mathrm {ch} \,Z\\y=\mathrm {sh} \,\eta =\mathrm {sh} \,Y\ \mathrm {ch} \,Z\\z=\mathrm {sh} \,\zeta =\mathrm {sh} \,Z,\\l=\mathrm {ch} \,r=\mathrm {ch} \,X\ \mathrm {ch} \,Y\ \mathrm {ch} \,Z\end{array}}$

die Weierstraßschen Koordinaten des Punktes $M$.

Aus dem Vierecke $MNRT$ hat man^[1]

$\mathrm {sh} \,\xi =\mathrm {sh} \,NT\ \mathrm {ch} \,Z$

während man aus $0PNT$ die Gleichung

$\mathrm {sh} \,NT=\mathrm {sh} \,X\ \mathrm {ch} \,Y$

erhält. Aus diesen zwei Relationen erhält man den Ausdruck für $x$. Aus dem Vierecke $MNPS$ findet man leicht den Wert für $y$. Die Grenzkreisbogen $MA$, $MB$ und $MC$ sind unsere $x,y$ und $z$. Man findet weiters

$l^{2}-x^{2}=\mathrm {ch} ^{2}Y\ \mathrm {ch} ^{2}Z$

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1. F. Engel, Nikolaj Iwanowitsch Lobatschefskij. Zwei geometrische Abhandlungen, 1898, S.347.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 113. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/11&oldid=- (Version vom 1.8.2018)