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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

In der hyperbolischen Geometrie ist die Summe der Winkel in jedem Dreiecke kleiner als zwei rechte. In dem Dreiecke $0AB$ ist also

$\alpha _{1}+\alpha _{2}<{\frac {\pi }{2}},$

Tragen wir aber die Strecke $u_{2}$ in der Richtung $0C$ normal zu $0A$ ab und setzen dann unter dem rechten Winkel die Strecke $u_{1}$ an, so kommen wir zum Punkte $D$, der von $B$ verschieden ist. In der älteren Mechanik fallen diese Punkte zusammen. Komponiert man also die Geschwindigkeiten in der umgekehrten Reihenfolge, so erhält man die Resultante von derselben Größe, aber verschiedener Richtung. Den Richtungsunterschied

(15)	$\delta =\sphericalangle B0D={\frac {\pi }{2}}-\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}\right)$

kann man laicht als eine Funktion der Komponenten darstallen.

Führt man in die Formel

$\mathrm {cotg} \ \delta ={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}}$

die aus dem Lobatschefskijschen Dreiecke $0AB$ entnommenen Werte

$\mathrm {tg} \,\alpha _{1}={\frac {\mathrm {th} \,u_{1}}{\mathrm {sh} \,u_{2}}},\ \mathrm {tg} \,\alpha _{2}={\frac {\mathrm {th} \,u_{2}}{\mathrm {sh} \,u_{1}}}$

ein, so erhält man

(17)	$\mathrm {cotg} \,\delta ={\frac {\mathrm {th} \,u_{1}\mathrm {sh} \,u_{1}+\mathrm {th} \,u_{2}\mathrm {sh} \,u_{2}}{\mathrm {sh} \,u_{1}\mathrm {sh} \,u_{2}-\mathrm {th} \,u_{1}\mathrm {th} \,u_{2}}}$

Zufolge von (1) und (6) geht dies über in

(18)	$\mathrm {cotg} \,\delta ={\frac {v_{1}^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{2}}{c}}\right)^{2}}}+v_{2}^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{1}}{c}}\right)^{2}}}}{v_{1}v_{2}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {v_{1}}{c}}\right)^{2}}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{2}}{c}}\right)^{2}}}\right)}}$

Wir wollen dies noch anders ausdrücken. Der Richtungsunterschied der Resultanten ist gleich dem Defekt des Dreiecks $0AB$. Der Inhalt eines Lobatschefskijschen Dreiecks ist gleich seinem Defekt. Nach der bekannten Formel^[1] für den Defekt kann man setzen

(19)	$\mathrm {th} \,{\frac {\delta }{2}}={\frac {e^{u_{1}}-1}{e^{u_{1}}+1}}\cdot {\frac {e^{u_{2}}-1}{e^{u_{2}}+1}}$

oder

(20)	$\mathrm {th} \,{\frac {\delta }{2}}=\mathrm {th} \,{\frac {u_{1}}{2}}\mathrm {th} \,{\frac {u_{2}}{2}}$

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1. H. Liebmann, Nichteuklidische Geometrie, S. 149.

Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 111. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/9&oldid=- (Version vom 1.8.2018)