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Form mit der Geschwindigkeit sich verändern. Im Ruhezustande soll das Elektron eine Kugel vom Radius a sein; bei der Bewegung aber soll es sich parallel der Bewegungsrichtung im Verhältnis

\varkappa=\sqrt{1-\beta^{2}}

kontrahieren. Das gleichförmig translatorisch bewegte Elektron soll demnach ein Heaviside-Ellipsoid sein.

Wir wollen die Lagrangesche Funktion sowie die elektromagnetische Energie und Bewegungsgröße eines solchen Lorentzschen Elektrons berechnen. Das elektromagnetische Feld bestimmt sich aus den Ansätzen des § 18; die Anwendung der dort gegebenen Transformation (105) gestaltet sich hier besonders einfach. Das bewegte System \Sigma ist ein Heaviside-Ellipsoid; geht man durch Streckung parallel der Bewegungsrichtung im Verhältnis \varkappa^{-1} zum ruhenden System \Sigma_{0} über, so erhält man eine Kugel vom Radius a. Die Energie dieser Kugel ist, im Falle der Flächenladung,

(124) U_{0}=\int\frac{dv_{0}}{8\pi}\mathfrak{E}_{0}^{2}=\frac{e^{2}}{2a}.

Die Langrangesche Funktion, welche nach (104b) im Falle gleichförmiger Bewegung der Kräftefunktion entgegengesetzt gleich ist, wird, gemäß (106d),

(124a) L=-\varkappa U_{0}=-\varkappa\frac{e^{2}}{2a}.

Ferner folgt aus (102) und (106)

(124b) \Phi=\frac{1}{\varkappa}\varphi_{0}

und daher aus (101d) und (105)

(124c) \begin{cases}
\mathfrak{E}_{y}=-\dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=-\dfrac{1}{\varkappa}\dfrac{\partial\varphi_{0}}{\partial y_{0}}=\dfrac{1}{\varkappa}\mathfrak{E}_{0y},\\
\\
\mathfrak{E}_{z}=-\dfrac{\partial\Phi}{\partial z}=-\dfrac{1}{\varkappa}\dfrac{\partial\varphi_{0}}{\partial z_{0}}=\dfrac{1}{\varkappa}\mathfrak{E}_{0z}.
\end{cases}

Hieraus und aus (101f) bestimmt sich die x-Komponente des Vektors \mathfrak{g}, welcher die Dichte der elektromagnetischen Bewegungsgröße angibt:

\mathfrak{g}_{x}=\frac{1}{4\pi c}\Bigl\{ \mathfrak{E}_{y}\mathfrak{H}_{z}-\mathfrak{E}_{z}\mathfrak{H}_{y}\Bigr\} =\frac{\beta}{4\pi c}\Bigl\{ \mathfrak{E}_{y}^{2}+\mathfrak{E}_{z}^{2}\Bigr\} =\frac{\beta}{4\pi c\varkappa^{2}}\Bigl\{ \mathfrak{E}_{0y}^{2}+\mathfrak{E}_{0z}^{2}\Bigr\}.