Seite:AbrahamElektromagnetismus1914.djvu/385

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Durch eine leichte Rechnung leitet man aus (250a, b, c) für den Betrag von \mathfrak{q}' die Formel ab:

(250d) 1-|\mathfrak{q}'|^{2}=\frac{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-|\mathfrak{q}|^{2}\right)}{\left(1-\beta\mathfrak{q}{}_{x}\right)^{2}}.

Ein Punkt, der sich in \Sigma mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, bewegt sich auch in \Sigma' mit Lichtgeschwindigkeit; denn |\mathfrak{v}|=c,\ |\mathfrak{q}|=1 entspricht nach (250d) |\mathfrak{q}'|=1,\ |\mathfrak{v}'|=c'. Ebenso ersieht man, da \beta^{2}<1, ohne weiteres aus dieser Formel: Unterlichtgeschwindigkeit in \Sigma entspricht Unterlichtgeschwindigkeit in \Sigma', Überlichtgeschwindigkeit in \Sigma entspricht Überlichtgeschwindigkeit in \Sigma'.

Aus den Gleichungen (250a bis d), denen gemäß sich die Komponenten und der Betrag von \mathfrak{q}' durch die Komponenten von \mathfrak{q} ausdrücken, erhält man die Formeln, nach denen sich umgekehrt \mathfrak{q}' in \mathfrak{q} transformiert:

(251a) \mathfrak{q}_{x}=\frac{\mathfrak{q}'_{x}+\beta}{1+\beta\mathfrak{q}'_{x}},
(251b) \mathfrak{q}_{y}=\frac{\varkappa\mathfrak{q}'_{y}}{1+\beta\mathfrak{q}'_{x}},
(251c) \mathfrak{q}_{z}=\frac{\varkappa\mathfrak{q}'_{z}}{1+\beta\mathfrak{q}'_{x}},
(251d) 1-|\mathfrak{q}|^{2}=\frac{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-|\mathfrak{q}'|^{2}\right)}{\left(1+\beta\mathfrak{q}'{}_{x}\right)^{2}}.

Wir gehen jetzt zur Transformation des Beschleunigungsvektors über. Wir setzen

(252) \mathfrak{\dot{q}}=\frac{d\mathfrak{q}}{dl}=\frac{1}{c^{2}}\frac{d\mathfrak{v}}{dt},
(252a) \dot{\mathfrak{q}}'=\frac{d\mathfrak{q}'}{dl'}=\frac{1}{c'^{\,2}}\frac{d\mathfrak{v}'}{dt'},

und erhalten durch Differentiation von (250a)

\dot{\mathfrak{q}}'_{x}=\frac{dl}{dl'}\frac{d}{dl}\left\{ \frac{\mathfrak{q}_{x}-\beta}{1-\beta\mathfrak{q}_{x}}\right\},

und hieraus, mit Rücksicht auf (250)

\dot{\mathfrak{q}}'_{x}=\frac{\varkappa}{1-\beta\mathfrak{q}_{x}}\left\{ \frac{\dot{\mathfrak{q}}{}_{x}}{1-\beta\mathfrak{q}_{x}}+\frac{\beta\dot{\mathfrak{q}_{x}}\left(\mathfrak{q}_{x}-\beta\right)}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{2}}\right\},