Seite:AbrahamElektromagnetismus1914.djvu/393

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Ist die Bewegung des Elektrons nicht quasistationär, so kommt in erster Linie die Reaktionskraft der Strahlung in Betracht. Wir hatten für diese Kraft in § 15 den Ausdruck (87) angegeben, ohne aber eindeutig dessen Gültigkeit nachzuweisen. Wir wollen ihn jetzt aus der Relativitätstheorie ableiten, indem wir voraussetzen, daß für langsame Bewegung die in Gl. (58) des § 9 angegebene Formel zutrifft, die wir mit Rücksicht auf (252a) schreiben können:

(261) \mathfrak{K}'^{s}=\frac{2}{3}\frac{e'^{2}}{c'^{3}}\frac{d^{2}\mathfrak{v}'}{dt'^{2}}=\frac{2}{3}e'^{2}\frac{d^{2}\mathfrak{q}'}{dl'^{2}}=\frac{2}{3}e'^{2}\ddot{\mathfrak{q}}.

Dies mag der Ausdruck der Rückwirkung der Strahlung in dem System \Sigma' sein, welches aus dem bewegten Elektron auf Grund der im Eingang dieses Paragraphen angegebenen Transformation entsteht. Beim Übergang zu \Sigma ist zu bedenken, daß nach (259) die elektrische Ladung ungeändert bleibt, und daß die Kraftkomponenten sich gemäß den Transformationsformeln (260) umrechnen; dann erhalten wir in \Sigma für die Reaktionskraft der Strahlung den Ausdruck

\mathfrak{K}^{s}=\frac{2}{3}e^{2}\frac{d}{dl'}\left\{ \mathfrak{\dot{p}}\right\}

wo \dot{\mathfrak{p}} eben der in Gl. (254) des § 47 eingeführte Vektor ist, dessen Komponenten durch (254a) mit denen des Vektors \mathfrak{\dot{q}}' verknüpft sind. Es handelt sich also nur noch um die Berechnung des Vektors

\frac{d\mathfrak{\dot{p}}}{dl'}=\frac{dl}{dl'}\frac{d}{dl}\left\{ \frac{\mathfrak{\dot{q}}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{2}}+\frac{\mathfrak{q}\beta\mathfrak{\dot{q}}_{x}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}}\right\}

für den sich durch Ausführung der Differentiation und mit Rücksicht auf Gl. (250) ergibt

\frac{\mathfrak{\ddot{q}}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}}+\frac{\mathfrak{q}\beta\mathfrak{\ddot{q}}_{x}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{4}}+\frac{3\mathfrak{q}\beta\mathfrak{\dot{q}}_{x}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{4}}+\frac{3\mathfrak{q}\beta^{2}\mathfrak{\dot{q}}_{x}^{2}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{5}}

Hier ist nun, wie im Eingange dieses Paragraphen angegeben worden ist, zu setzen

\mathfrak{q}_{x}=\beta,\ \mathfrak{q}_{y}=\mathfrak{q}_{z}=0; dann folgt
(261b) \mathfrak{K}^{s}=\frac{2}{3}e^{2}\left\{ \mathfrak{\ddot{q}}\varkappa^{-2}+\mathfrak{q(q\ddot{q}})\varkappa^{-4}+3\mathfrak{\dot{q}(q\dot{q})}\varkappa^{-4}+3\mathfrak{q(q\dot{q})^{2}}\varkappa^{-6}\right\}